Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Метод сопряженных градиентовМетод сопряженных градиентов для нахождения максимума квадратичной формы имеет несколько модификаций.
1. Одна из них получается
непосредственно из рассмотренного выше процесса, если заменить максимизацию
функции Алгоритм получается таким (модификация I): А. Начальный шаг. 1)
Находится градиент 2)
полагается 3)
находится точка Б. Общий шаг. Пусть уже найдены
точки 1)
находится градиент 2) полагается
где
3)
находится точка
В. Останов алгоритма. Процесс
обрывается в тот момент, когда градиент При абсолютно точном вычислении
алгоритм должен привести к максимуму не более чем за В реальных условиях, при
ограниченной точности вычислений, процесс поиска максимума следует остановить
не при точном обращении в нуль градиента, а в тот момент, когда градиент станет
достаточно мал. При этом на самом деле может потребоваться более Чтобы придать алгоритму более
«конструктивную» форму, найдем формулу, определяющую точку максимума
квадратичной формы на прямой Подставляя уравнение прямой в
выражение функции
где
и соответственно
Таким образом, вычисление в пункте 3) алгоритма может быть осуществлено по формуле
2. Более известна модификация
метода, при которой для вычисления очередного направления Рассмотрим систему векторов
Кроме того, из (16.11) следует, что
Наконец, остается в силе соотношение типа (16.9)
Умножая
правую и левую части (16.19) на
откуда
откуда
Соотношение
(16.20) определяет Полагая в (16.20) А. Начальный шаг, такой же как и в модификации I. Б. Пусть уже найдены точка 1)
Находится градиент 2) полагается
где
3)
находится точка
по формуле
Формулы (16.21) и (16.22) могут быть преобразованы. Так, полагая
имеем из (16.22)
откуда получаем, применяя (16.12),
С другой стороны, поскольку
из (16.21) имеем
и, таким образом,
Наконец, из (16.21), (16.23) и (16.24) получаем
Таким образом, формулы (16.21) и (16.22) могут быть записаны в виде
где
и
Совпадение результатов действия по формулам (16.21) и (16.22), с одной стороны, и (16.25), (16.26), с другой, может служить критерием правильности вычислений. 3. Метод сопряженных градиентов
может быть применен и для максимизации функций При этом пункт 1) алгоритма может
быть выполнен без изменений, пункт 2) должен выполняться по формуле (16.25),
поскольку в эту формулу не входит явно матрица 4. Что будет, если применить
метод сопряженных градиентов для максимизации квадратичной формы с положительно
полуопределенной формой Если квадратичная форма
где
все Если же при некоторых Оказывается, что метод
сопряженных градиентов (при точном счете) позволяет в первом случае достигнуть
максимума не более чем за В исходной системе координат
функция
причем
матрица Рассмотрим применение метода сопряженных градиентов в форме II в этом случае. Здесь приходится изменить условие остановки, т. е. теперь возможно, что при вычислении длины шага
знаменатель
Таким образом, условие останова будет таким. Процесс останавливается, если: на очередном шаге или на очередном шаге оказывается, что
В первом случае алгоритм,
естественно, приводит в точку максимума. Во втором случае направление
при
причем
так
как при Нам остается убедиться, что
останов произойдет не более чем через
(при выводе этих соотношений положительно-определенность не использовалась). Отсюда следует, что векторы
причем
так
что в точке
где
и
так как Следовательно, останов
обязательно произойдет при
|
1 |
Оглавление
|