8. Производная по направлению. Градиент.

Начнем с рассмотрения функции трех независимых переменных Предположим, что эта функция определена в некоторой окрестности точки пространства и дифференцируема в точке

Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Каждый такой луч задается единичным вектором с координатами и определяет некоторое направление.

Фиксируем некоторый луч, выходящий из точки и определяемый единичным вектором с координатами

Взяв на прямой, содержащей этот луч, произвольную отличную от точку М, рассмотрим вектор или направленный отрезок и обозначим через I величину этого направленного отрезка на оси, определяемой единичным вектором

Ясно, что вектор имеет координаты

С другой стороны, если координаты точки М равны то вектор имеет координаты, равные .

Сопоставляя два полученных нами соотношения для координат вектора мы приходим к равенствам

Равенства (12.34) показывают, что на прямой, проходящей через точку и определяемой единичным вектором функция представляет собой сложную функцию одной независимой переменной вида

Определение 1. Производную указанной сложной функции, по переменной I, взятую в точке назовем производной функции в точке по направлению, определяемому единичным вектором и будем обозначать символом .

Итак, по определению

Введем понятие градиента дифференцируемой в данной точке функции

Определение 2. Градиентом функции в данной точке называется вектор, координаты которого имеют вид

Для обозначения градиента функции обычно используют символ

Итак, по определению

Так как скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, то выражение (12.35) для производной по направлению, определяемому вектором можно рассматривать как скалярное произведение вектора (12.36) и

Итак, мы получаем, что

С помощью равенства (12.37) убедимся, что градиент функции в точке характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке

Точнее, докажем два утверждения:

1) производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.

2) значение производной функции по направлению, определенному градиентом этой функции в данной точке, равно т. е. равно длине вектора и в данной точке.

Для доказательства указанных двух утверждений заметим, что скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними Поэтому выражение (12.37) можно переписать в виде

где — угол между векторами

Учитывая, что мы получим, что

Из последнего равенства Ьытекают оба утверждения 1) и 2).

В самом деле, максимальное значение производной - получится при т. е. при совпадении направления с направлением причем производная ди/де в этом направлении равна

Доказанные два утверждения позволяют утверждать, что градиент не зависит от выбора системы координат (ибо и направление,

и длина вектора и в каждой данной точке инвариантны относительно выбора системы координат).

Для выяснения геометрического смысла вектора и целесообразно ввести понятие поверхностей уровня функции , понимая под этим термином те поверхности, на которых функция сохраняет постоянное значение, т. е., удовлетворяет соотношению

Если в каждой точке поверхности уровня построить касательную плоскость, то легко убедиться в том, что нормальным вектором такой плоскости будет являться вектор (12.36), т. е. и. Отсюда следует, что вектор и в каждой точке М поверхности уровня ортогонален к этой поверхности.

Совершенно аналогично определяются производная по направлению и градиент для дифференцируемой в данной точке функции переменных.

Для такой функции производная в данной точке по направлению, определяемому единичным вектором вводится как обычная производная по переменной I сложной функции взятая в точке

Для любой дифференцируемой в данной точке функции производная в этой точке по направлению, определяемому вектором равна

Градиентом дифференцируемой в данной точке функции называется вектор, обозначаемый

символом и имеющий координаты

Так как скалярное произведение двух векторов пространства равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, то равенство (12.35 позволяет утверждать, что

Из неравенства Коши—Буняковского, справедливого для двух любых векторов пространства вытекает, что

причем знак переходит в знак только в случае, когда векторы и и коллинеарны.

Отсюда следует, что вектор пространстве обладает теми же двумя свойствами 1) и 2), что и в пространстве

Заметим, что в случае функции двух переменных х и у единичный вектор определяющий направление в точке имеет координаты а. Поэтому в указанном случае формула (12.35) принимает вид