5.2. Выборочное среднее

Так как задача оценки среднего значения случайной величины по существу идентична с задачей оценки среднего значения стационарного в широком смысле вероятностного процесса, то мы будем рассматривать одновременно обе эти задачи. Пусть х — действительная случайная величина с конечным средним значением и конечной дисперсией , а — выборочные функции стационарного в широком смысле действительного вероятностного процесса, имеющая те же конечные средние значения и дисперсию Предположим теперь, что мы выполнили N измерений случайной величины или выборочной функции вероятностного процесса. Пусть, далее, где есть значение выборки случайной величины, пусть — значение выборочной функции в момент и пусть случайная величина, описывающая возможные значения, которые может принимать или Заметим, что имеет те же статистические свойства, что и х или . В частности, для всех

В § 4.1 мы указали, что среднее значение случайной величины является обобщением понятия арифметического среднего выборочной функции. Имея это в виду, рассмотрим выборочное среднее , определяемое как арифметическое среднее N случайных величин

в качестве статистики, которая будет использована для оценки искомого среднего. Математическое ожидание выборочного среднего равно

т. е. математическое ожидание выборочного среднего равно среднему значению изучаемой случайной величины (или вероятностного процесса). Статистику, для которой ее математическое ожидание равно оцениваемой величине, называют несмещенной оценкой; выборочное среднее представляет собой, таким образом, несмещенную оценку для среднего значения.