§ 84. Влияние гравитационного поля на скорость света в вакууме и показатель преломления вакуума

Скорость света с, квадрат которой является коэффициентом пропорциональности в законе (при обеих указанных выше трактовках этого закона) и которая входит во все предыдущие уравнения этой главы, представляет собой скорость распространения энергии электромагнитного излучения в вакууме, совпадающую с фазовой скоростью света в вакууме при исчезающе малой напряженности гравитационного поля. В отличие от этой универсальной константы фазовая скорость света в вакууме при наличии гравитационного поля не является строго постоянной величиной, но несколько уменьшается при возрастании гравитационного потенциала. Для вывода зависимости фазовой скорости света и показателя преломления вакуума от гравитационного потенциала рассмотрим парадокс равновесия лучистой энергии в поле тяжести.

Представим себе, что внутри высокого закрытого сверху и снизу цилиндра с непроницаемыми для тепла стенками, расположенного вертикально в гравитационном поле, содержится равновесное (черное) излучение при температуре По закону пропорциональности энергии и массы излучение обладает массой, а

следовательно, весом; стало быть, верхние слои излучения давят на нижние и поэтому давление и плотность излучения внизу будут больше, чем наверху

Если высота рассматриваемого столба излучения и — средняя по вертикали плотность излучения (которую приближенно мы примем равной среднеарифметическому значению плотностей излучения в верхнем и нижнем слоях), то давление, создаваемое весом столба излучения в равновесном гравитационном поле при ускорении тяжести превышение давления внизу над давлением наверху равно где положительная разность гравитационных потенциалов: т. е.

Из уравнений Максвелла строго вытекает, что давление равновесного излучения равно одной трети плотности излучения. Следовательно,

откуда

или

Итак, вследствие весомости излучения плотность равновесного излучения в гравитационном поле в нижних слоях, несомненно, превышает плотность излучения в верхних слоях и отношение определяется формулой Но это заключение находится в обманчивом противоречии с законом Стефана — Больцмана в пред. изд. § 94 и т. III, § 49), согласно которому плотность равновесного излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, а температура при термодинамическом равновесии, понятно, одинакова для всех значений гравитационного потенциала и поэтому казалось бы, что и плотность должна быть одинаковой.

Дело в том, что при термодинамическом выводе закона Стефана — Больцмана приходится рассматривать работу расширения лучистой энергии, причем игнорируется факт весомости излучения и в связи с этим не принимается во внимание работа против силы тяжести. Поэтому упускается из виду, что коэффициент пропорциональности в законе Стефана — Больцмана зависит от гравитационного потенциала. Закон Стефана — Больцмана можно вывести также, интегрируя уравнение Планка (§ 49) по всем длинам волн при Тогда для константы закона Стефана — Больцмана получается нижеследующее выражение, содержащее фазовую скорость света с:

где (здесь постоянная Больцмана и постоянная Планка).

Из указанного выражения коэффициента пропорциональности а в законе Стефана — Больцмана следует, что при рассмотренном нами равновесии черного

излучения в фавитационном поле, вследствие несомненного равенства температур, плотности излучения в нижнем и верхнем слоях должны быть обратно пропорциональны кубу отношения фазовых скоростей света:

Это уравнение согласуется с уравнением только в том случае, если признать, что фазовая скорость света уменьшается под влиянием гравитационного поля Из и получаем:

или

Вводя показатели преломления вакуума в гравитационном поле , предыдущую формулу можно переписать так:

Уравнение (25), если в нем положить и соответственно 1, показывает, что превышение показателя преломления вакуума над единицей пропорционально гравитационному потенциалу: Вблизи поверхности Солнца показатель преломления вакуума имеет величину 1,00000424.

Вследствие весомости света световые лучи, посылаемые какой-либо звездой и проходящие вблизи Солнца, должны отклоняться от первоначального направления на некоторый угол, который нетрудно вычислить из условия, что момент количества движения световых частиц относительно Солнца остается постоянным. Этот угол равен где -радиус Солнца и кратчайшее расстояние от центра Солнца до светового луча. Но вследствие возрастания показателя преломления вакуума при приближении к Солнцу, т. е. вследствие оптической неоднородности вакуума вблизи Солнца (напоминающей оптическую неоднородность земной атмосферы, § 14), угол отклонения лучей Солнцем оказывается, как показывают вычисления на основе формулы (25), в 2 раза большим и равным

Отклонение лучей в гравитационном поле, предсказанное теоретически Эйнштейном в 1915 г., было подтверждено наблюдениями, сделанными в и последующих годах при полных солнечных затмениях.