1. Расчет магнитных характеристик для реального дросселя без рассеяния

Рассмотрим дифференциальное уравнение для дросселя, питаемого от источника синусоидального напряжения, без учета индуктивности рассеяния обмотки. Такой дроссель, очевидно, может быть представлен схемой, показанной на рис. 3.1.

Для цепи рис. 3.1 можно написать

(3.60)

Это уравнение для придания общности решения обычно записывают в системе относительных единиц [10]:

где

Здесь и — выбранные базисные значения магнитной индукции и напряженности поля.

Как видим, при введений относительных единиц магнитный поток, напряжение, ток и, наконец, сопротивление обмотки дросселя заменяются на безразмерные величины и таким образом из дифференциального уравнения исключаются такие параметры, как числа витков обмоток w, активное поперечное сечение и длина средней магнитной линии сердечника частота а также величины, характеризующие кривую намагничивания .

Дифференциальное уравнение (3.60) может быть решено, например, методом Рунге-Кутта. Однако в уравнение (3.60) входят величины обычно неизвестные в начале расчета.

Гораздо удобнее воспользоваться обобщенным дифференциальным уравнением дросселя, полученным нами и позволяющим рассчитать все необходимые магнитные характеристики. Отметим, что обобщение дифференциального уравнения легко достигается предложенной новой системой относительных единиц. При этой системе коэффициенты в дифференциальном уравнении не зависят от геометрических параметров конкретного дросселя, а являются лишь функцией электромагнитных параметров самого дросселя.

Для получения обобщенного дифференциального уравнения, отображающего в общем виде процессы в нелинейном дросселе, сделаем некоторые преобразования с уравнением (3.60): его второй член умножим и разделим на величину а правую часть уравнения — на величину . Принимая во внимание очевидные равенства

можно после некоторых преобразований получить

где — коэффициент формы кривой реактивной составляющей напряжения на зажимах дросселя;

— коэффициент формы кривой, равный , — отношение реактивной составляющей напряжения на зажимах дросселя к напряжению на входе всей цепи; параметр дросселя, равный отношению падения напряжения на активном сопротивлении обмотки ко всему напряжению, приложенному к зажимам дросселя.

Параметр имеет непосредственную связь с добротностью дросселя:

— отношение потерь в сердечнике дросселя к потерям в его обмотке.

При известной величине добротности дросселя параметр имеет вполне определенное значение. И, наоборот, при определенном значении дроссель имеет вполне определенную величину добротности.

В дифференциальное уравнение (3.61) не входят такие параметры, как число витков w, сечение магнитопровода и др., т. е. полученное уравнение — действительно обобщенное. Это позволяет и его решение получить в общем виде, т. е. вне связи с некоторыми конкретными конструктивными параметрами дросселя.

Решение дифференциального уравнения (3.61) приводит к получению нужных магнитных характеристик дросселя: и др., учитывающих режим работы реального нелинейного дросселя без рассеяния. Расчет таких характеристик производится впервые.

Для расчета магнитных характеристик нужны кривые зависимостей активных и реактивных слагающих напряженности магнитного поля от магнитной индукции Способ получения таких зависимостей приведен в § 3.7. Кривые должны быть аппроксимированы какой-либо конкретной функцией. Поскольку решение дифференциального уравнения (3.61) практически возможно только с помощью ЭЦВМ, для зависимостей лучше всего взять сумму гиперболических и соответственно сумму круговых синусов, наиболее точно отображающих реальные кривые намагничивания дросселя.

В дифференциальное уравнение (3.61) входят величины . Их можно определить следующим образом:

и

где

Действительно, для цепи рис. 3.1 по закону Кирхгофа можно записать следующее очевидное равенство:

Отсюда, взяв комплекс за начало отсчета, получаем

Так как отношение можно представить в виде

Отсюда модуль величины

Величину фазового угла можно найти, принимая во внимание следующее обстоятельство. Известно, что при синусоидальном напряжении мощность на входе дросселя обусловливается только первой гармоникой тока:

Отсюда при принятом начале отсчета, т. е. когда имеем

или без учета потерь в стали

Путем подстановки выражения (3.64) в формулу (3.64) легко получить уравнение (3.63).

Как следует из (3.63), в исследуемом дросселе отношение обусловливается не только отношением , но и коэффициентом искажений форм кривых напряжения на зажимах идеализированного дросселя и тока, протекающего по обмотке. При синусоидальном напряжении и токе в обмотке I (линейный дроссель), т. е. при имеем

Как видим, уравнение (3.63) справедливо и для линейного дросселя. Другими словами, известное уравнение (3.63) является частным случаем обобщенного уравнения (3.63), правомерного для любого идеализированного дросселя без рассеяния.

Для решения с помощью ЭЦВМ дифференциального уравнения (3.61) нами разработана специальная программа, позволяющая определять методом Рунге-Кутга [13] все необходимые характеристики дросселя без рассеяния.

Блок-схема разработанной программы приведена на рис. 3.21. Время счета около 2 мин. Программа по зволяет рассчитать магнитные характеристики , получить гармонический состав кривой магнитной индукции ее производной и кривой напряженности поля , а также расчетные зависимости . Отметим, что режим работы дросселя без учета рассеяния несущественно отличается от режима работы идеализированного дросселя . Некоторое отличие есть для величин

Рис. 3.21. Блок-схема решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта.

На рис. 3.22 приведены кривые напряженности поля магнитной индукции а также ее производной полученные расчетным путем по разработанной программе (рис. 3.21) и опытным путем. Из рис. 3.22 видно хорошее согласование расчетных и опытных данных. При магнитная индукция близка по форме к синусоидальной; при синусоидальным становится ток в обмотке, магнитная индукция при этом не синусоидальна и имеет характерную уплощенную форму.

Можно заключить, что обобщенное дифференциальное уравнение позволяет рассчитать магнитные характеристики дросселя при двух предельных режимах: при синусоидальной магнитной индукции и при синусоидальном токе

Рис. 3.22. Зависимости для малонасыщенного и сильно насыщенного сердечников: а, б — расчетные; в, г — опытные.

На рис. 3.23, 3.24 приведены зависимости полученные в результате решения дифференциального уравнения (3.61). Как видим, при синусоидальном токе потери в сердечнике дросселя больше, чем при синусоидальной индукции.

Рис. 3.23. Расчетные зависимости

Рис. 3.24 Расчетные зависимости

Из рассмотрения рис. 3.23 и 3.24 можно сделать вывод, что при малых , магнитные характеристики дросселя с учетом активного сопротивления обмотки незначительно отличаются от характеристик идеализированного дросселя и, следовательно, для обычного проектирования правомерно пользование магнитными характеристиками, полученными без учета сопротивления обмотки.

Программа может быть использована также и для решения другой задачи — для определения режима работы идеализированного дросселя, включенного в цепь с активной нагрузкой, например цепь накала радиоламп. Действительно, если во всех уравнениях считать параметр равным отношению напряжения на активной нагрузке ко входному напряжению цепи, то дифференциальное уравнение будет описывать процессы в идеализированном дросселе, включенном последовательно с активной нагрузкой. Активное сопротивление обмотки реального дросселя для такого рассмотрения должно быть отнесено к сопротивлению нагрузки.