Лекция девятая. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАТОРОВ

Устойчивость линзовых световодов. Световод с одинаковыми линзами. Световод с чередующимися линзами двух различных фокусных расстояний. Условие устойчивости, диаграмма устойчивости. Эквивалентность линзового световода и открытого резонатора. Типы устойчивых резонаторов. Селекция поперечных мод диафрагмой. Неустойчивые резонаторы.

Используем аналогию между линзовыми световодами и открытыми резонаторами для рассмотрения важного вопроса об устойчивости резонаторов. Резонатор устойчив, когда при попеременном отражении от зеркал резонатора происходит такая периодическая фокусировка распространяющегося в нем излучения, что в приближении геометрической оптики энергия излучения не выходит из резонатора. В неустойчивом резонаторе при каждом проходе излучения между зеркалами резонатора заметная доля запасенной энергии выходит из резонатора. Другими словами, устойчивый резонатор характеризуется наличием стационарного распределения поля, устойчиво повторяющегося при многократных проходах излучения между зеркалами резонатора и обладающего весьма малыми дифракционными потерями, такими, что для времени жизни этого распределения в резонаторе выполняется условие (см. (7.17)).

Устойчивому резонатору соответствует устойчивый линзовый световод. В свою очередь, световод устойчив, когда в нем распространяется пучок света, на произвольно больших расстояниях не выходящий за пределы световода. Проведем анализ устойчивости

световода, который состоит из линз с одинаковыми фокусными расстояниями F, расположенных последовательно и соосно на расстоянии l друг от друга. Траекторию луча света в линзовом световоде будем рассматривать в параксиальном приближении, для которого справедлива известная формула тонкой линзы

где — расстояние светящейся точки, помещенной на главной оптической оси линзы, до оптического центра линзы, расстояние от оптического центра линзы до изображения этой точки. Эта общая формула может быть представлена в виде, более удобном для проводимого далее анализа. Пусть некоторый луч пересекает плоскость линзы на расстоянии от ее главной оптической оси.

Рис. 9.1. К выводу формулы линзы в форме (9.2).

Рис. 9.2. К выводу условия устойчивости линзового световода.

Этот луч входит в линзу под углом по отношению к нормали к плоскости линзы и выходит под углом . В параксиальном приближении, т. е. при формуле (9.1) эквивалентна заппсь

где положительные углы отсчитываются, как обычно, против часовой стрелки (рис. 9.1).

Рассмотрим три соседние линзы световода и Для рассматриваемого луча расстояние от оптической оси линзы номер n, т. е. расстояние от оси световода в точке n, равно . Угол между лучом и оптической осью световода при выходе линзы помер составляет Для соседних линз формула (9.2) принимает вид (рис. 9.2)

В свою очередь, расстояния от луча до оси в соседних линзах связаны соотношениями

справедливыми, естественно, только в параксиальном приближении. Вычитая из первого уравнения второе и- учитывая (9.3), получаем рекуррентное соотношение

позволяющее определять положение луча на любой линзе световода, еслп известно его положение на первых двух линзах.

Таким образом, в приближении геометрической оптики мы получили рекуррентное соотношение, позволяющее последовательно шаг за шагом, от линзы к линзе определять траекторию любого луча в параксиальном пучке света, распространяющегося в линзовом световоде, и тем самым анализировать устойчивость световода. Аналогия с рассмотрением последовательных прохождений излучения между зеркалами резонатора в методе Фокса и Ли очевидна.

В рассматриваемом случае численный анализ последовательных шагов не является необходимым, так как (9.5) допускает аналитическое решение. Будем искать это решение в виде

где А — постоянная. Подставив (9.6) в (9.5), воспользовавшись формулой Эйлера и потребовав выполнения (9.5) порознь для мнимой и действительной частей этого рекуррентного соотношения, мы получаем, что (9.6) удовлетворяет (9.5) при условии

Соотношение (9.6) является частным решением (9.5). Проведем его анализ, не рассматривая общее решение. Световод устойчив, когда по мере роста n осциллирует в пределах где А имеет смысл положения луча при входе в световод.

Необходимым и достаточным условием существования ненарастающих осцилляций является действительность 0. При действительном 0 функция заключена в пределах ±1. Следовательно, допустимая область изменений отношения 1/F определяется неравенствами

(9.8)

При значениях лежащих вне этой области, косинус становится гиперболической функцией, — комплексной величиной, амплитуда отклонений луча от оси световода нарастает, луч выходит из световода, и световод становится неустойчивым. Следовательно, неравенства (9.8) являются условием устойчивости рассматриваемого световода.

Рассмотрим теперь несколько более общий случай. Пусть в световоде фокусные расстояния соседних линз различны и равны . Все линзы расположены друг от друга на расстоянии l. Значения сохраняются постоянными по всей длине световода, чередуясь через одну линзу так, что, скажем, все четные линзы имеют фокусное расстояние , а все нечетные .

Рекуррентное соотношение, подобное (9.5), можно получить, последовательно применяя формулу линзы в форме (9.2) к схеме,

представленной на рис. 9.3. Углы наклона положения луча на линзах световода с чередующимися линзами различного фокусного расстояния связаны соотношениями

(9.9)

Положения луча на соседних линзах в параксиальном приближении связаны соотношениями

Вычитая (9.12) из (9.11) и учитывая (9.9), находим связь

(9.13)

Аналогично

Если теперь в (9.14) заменить n на

сложить (9.15) с (9.14) и ввести по формуле (9.13), то в результате получается рекуррентное соотношение, содержащее только :

Рис. 9.3. К выводу условия устойчивости линзового световода с чередующимися линзами с фокусными расстояниями .

Для положений луча на нечетных линзах в результате преобразований такого же типа получается совершенно аналогичное соотношение:

Рекуррентные соотношения (9.16) и (9.17) по форме полностью подобны соотношению (9.5). Следовательно, к ним применимы результаты решения (9.5) в форме (9.6) и (9.7). Это означает, что условием устойчивости линзового световода с чередующимися линзами с фокусными расстояниями , расположенными последовательно на одном и том же расстояния

друг от друга, является выполнение требования

Несложные преобразования придают (9.18) простую форму:

При одинаковых неравенства (9.19) и (9.8) эквивалентны, как эквивалентны утверждения и

Введем обозначения . В этих обозначениях границы изменения допустимых значении отношений определяются простыми уравнениями:

Записи (9.20) и (9.21) дают возможность простого графического представления области устойчивости световода в координатах

Рис. 9.4. Диаграмма устойчивости. Внизу показаны диапазоны изменения фокусного расстояния соответствующие изменению параметра от до .

На рис. 9.4 гиперболы оси координат, отвечающие уравнению (9.21), очерчивают область устойчивости. Для наглядности эта область заштрихована. Допустимые значения и лежат в заштрихованной области и на ее границе. Отметим некоторые специальные точки на этой диаграмме, представляющие особый интерес. Начало координат соответствует конфокальной системе . Видно, что конфокальный линзовый световод лежит на границе между областями устойчивых и неустойчивых траекторий. Точка соответствует предельному случаю бесконечного фокусного расстояния. Точка соответствует линзовому световоду с одинаковыми линзами, фокусное расстояние которых является предельно малым для световода этого типа.

Вернемся к открытым резонаторам и рассмотрим еще раз аналогию между линзовым световодом и резонатором.

Типичный лазерный резонатор состоит из двух слегка вогнутых зеркал с большой отражательной способностью, расположенных напротив друг друга. Кривизна зеркал может быть как одинаковой, так и различной. Вогнутое сферическое зеркало в параксиальном приближении эквивалентно плоскому зеркалу и плоско-выпуклой сферической линзе, расположенной непосредственно перед зеркалом. Резонаторы, показанные на рис. 9.5, а и б, оптически эквивалентны. Тогда какая-то одна из бегущих компонент стоячей волны поля резонансной моды пересекает при одном отражении от зеркала эквивалентную ему линзу дважды.

Рис. 9.5. Эквивалентность резонатора и световода.

В смысле фокусировки каждая из бегущих волн резонатора распространяется в нем так же, как и бегущая волна в линзовом световоде, показанном на рис. 9.5, в. Плоско-выпуклые линзы, представленные на рис. 9.5, б, имеют фокусные расстояния . Но волна проходит через них дважды, сменив направление распространения непосредственно на плоской грани линзы. Следовательно, эти линзы действуют каждая как две близко расположенные идентичные линзы, оптические силы которых складываются. Поэтому в линзовом световоде линзам эквивалентны линзы . Тогда можно считать, что резонатор преобразуется в эквивалентный ему световод, если не учитывать изменения направления распространения волны при отражении, а полагать, что волна распространяется без отражения и непосредственно за первой линзой стоит вторая, ей идентичная. В результате мы приходим к выводу, что линзовый световод можг но рассматривать как развернутый вдоль оси открытый резонатор. Этот вывод сделан на основании рассмотрения, выполненного в приближении геометрической оптики.

В лекции восьмой мы показали, что конфокальный линзовый! световод имеет нормальные моды распространения, совпадающие

с нормальными колебательными модами конфокального резонатора. В общем случае при определении нормальных мод в линзовом световоде используется то обстоятельство, что распределение поля на каждой линзе (или через линзу) повторяется с точностью до фазового множителя. Далее, поле в опорной плоскости одной линзы записывается на основе принципа Гюйгенса в виде дифракционного интеграла Кирхгофа — Френеля от поля в опорной плоскости предыдущей линзы. Условие повторяемости поля с точностью до фазового множителя приводит к задаче на собственные значения, записываемой в виде интегральных уравнений, полностью подобных уравнению Фокса и Ли в случае открытого резонатора. Полученные при решении этих уравнепий распределения полей представляются произведениями полиномов Эрмита на функцию Гаусса и совпадают с таковыми для резонаторов.

Таким образом, и геометрооптическое, и волновое рассмотрения доказывают эквивалентность линзовых световодов и открытых резонаторов. Следовательно, условия устойчивости (9.19) и диаграмма устойчивости на рис. 9.4 характеризуют открытые лазерные резонаторы.

Рассмотрим диаграмму устойчивости резонаторов несколько подробнее.

Точка соответствует уже многократно обсуждавшемуся нами конфокальному резонатору. Резонатор этого типа лежит на границе устойчивой и неустойчивой областей, но его устойчивость носит, в сущности, формальный характер. Малейшая несимметричность зеркал легко приводит конфокальный резонатор в неустойчивое состояние. Поэтому действительно конфокальный резонатор, наиболее легкий для анализа и служащий модельным во многих рассмотрениях, на практике применяется довольно редко.

Множеству резонаторов с зеркалами одинакового радиуса кривизны R (симметричных резонаторов) отвечает прямая ABC. Точке соответствует так называемый концентрический резонатор, для которого центры кривизны зеркал совпадают: . Конфокальному резонатору отвечает точка В. Точке соответствует плоский резонатор . Все эти резонаторы, а не только один конфокальный, лежат на границе, разделяющей устойчивую и неустойчивую области. В связи с этим в случаях, когда желательно сохранить симметрию резонатора, применяется квазиконфокальный резонатор, расстояние между зеркалами которого мало отличается от конфокального:

Даже небольшое значение а, существенно не изменяя характер распределения поля в резонаторе по сравнению с конфокальным случаем, делает резонатор устойчивым.

Однако наибольшее распространение получил так называемый полуконфокальный резонатор (рис. 9.6), у которого одно зеркало плоское , а радиус кривизпы второго выбран так, что его фокус попадает на плоское зеркало Резонатор стабилен, произведение Плоское зеркало в фокальной области делит конфокальный резонатор пополам, заменяя реальное поле в удаленной части резонатора изображением поля в оставшейся его части. Поэтому в полуконфокальном резонаторе устанавливается половина распределения поля, характерного для конфокального резонатора. Широкое применение полуконфокального резонатора объясняется большим удобством конструирования выходных зеркал лазеров в виде плоских, а не сферических частично прозрачных зеркал.

Рис. 9.6. Полуконфокальный резонатор.

Вопрос о конструкции резонатора лазера тесно связан с вопросом о модовом составе лазерного излучения. Рассмотренная в лекции восьмой расходимость излучения описывает дифракционную расходимость гауссова пучка основной моды. Очевидно, что наличие поперечных мод, направления излучения максимальной интенсивности которых отличаются друг от друга и от направления оси резонатора, задающей направление излучения основной моды (см. (8.1) и (8.2)), приводит к резкому уменьшению направленности излучения. Поэтому большое значение имеет вопрос о селекции поперечных мод.

В большинстве случаев требуется выделить основную моду. Эта мода обладает наименьшими дифракционными потерями, которые сильно нарастают при увеличении поперечного индекса мод. Но в устойчивых резонаторах дифракционные потери так малы, что различие между ними не может слущнть для дискриминации мод. Поэтому селекция может быть основана только на различиях в распределении поля мод с различными поперечными индексами. Так как основная мода имеет симметричное относительно оси резонатора гауссово распределение с минимальной шириной этого распределения в поперечной плоскости, то простейшим и наиболее надежным способом селекции является диафрагмирование пучка внутри резонатора. Если размер отверстия диафрагмы мал, то число Френеля для резонатора определяется этой диафрагмой. С уменьшением числа Френеля различие в дифракционных потерях для основной моды n мод высшпх порядков возрастает, что и позволяет осуществлять их селекцию.

Зная "расчетную зависимость дифракционных потерь основной и следующей за ней по порядку поперечных индексов моды от числа Френеля, можно определить требуемый радиус диафрагмы. При этом, однако, вносятся потери и в основную моду. Простую оценку поперечного размера диафрагмы можно сделать исходя

из того, что этот размер должен быть примерно равен поперечному размеру распределения поля моды, следующей за основной, а место расположения диафрагмы должно быть выбрано там, где размеры мод отличаются наиболее сильно. Обычно, все же, размер отверстия диафрагмы и ее месторасположение выбираются экспериментально.

Существенным недостатком обсуждаемого способа выделения основной моды в устойчивом резонаторе является малость поперечных размеров моды. Это облегчает селекцию, но уменьшает выходную мощность, так как при этом не весь объем активной среды оказывается охваченным электромагнитным полем. Для увеличения выходной мощности необходимо увеличение объема моды. Кардинальным решением является переход к неустойчивым резонаторам. Именно применение неустойчивых резонаторов является эффективным средством селекции поперечных мод.

Из предыдущего изложения ясно, что резонатор является неустойчивым, когда произвольный луч, попеременно отражаясь от каждого из зеркал резонатора, уходит неограниченно далеко от оси резонатора. Другими словами, неустойчивыми являются оптические резонаторы, параметры которых попадают в области неустойчивости диаграммы на рис. 9.4. В силу лучевой неустойчивости в резонаторах этого типа дифракционные потери даже осеовпой моды велики и обычно превосходят все остальные виды потерь. Вместе с тем величина дифракционных потерь нарастает при переходе к высшим модам. Поэтому полные потерн чжхьно зависят от поперечных индексов, что приводит к подавлению высших поперечных мод и тем самым к выделению основной моды.

Очевидно, что реально неустойчивые резонаторы могут быть примепены в лазерах, активная среда которых обладает большим усилением. В противном случае большие потери излучения за один проход, связанные пменно с неустойчивостью резопатора, не могут быть скомпенсированы и условия самовозбуждения не будут выполнены. К счастью, применение неустойчивых резонаторов наиболее желательно в лазерах с большим усилением и большой запасаемой энергией. Дело в том, что в неустойчивом резонаторе объем, занимаемый полем основной моды, велик. Это происходит потому, что в отличие от устойчивого резонатора в неустойчивом не происходит периодической фокусировки поля внутри резопатора при попеременных отражениях от зеркал, и поле не стремится сосредоточиться вблизи оси резонатора. При этом лучи, стрмящпеся покинуть резонатор, целесообразно использовать как полезное выходное излучение лазера.

Большим достоинством неустойчивого резонатора является возможность управления величиной выводимой из резонатора энергии и достижения оптимальной связи резонатора с пространством.