Лекция двадцать шестая. ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ

Генерация СВЧ электронными потоками. Длина волны излучения и синхронизм для ультрарелятивистского электронного пучка. Усиление при ондуляторном излучении релятивистских электронов. Ондуляторный лазер на свободных электронах.

Рассматривая физические основы квантовой электроники и принципы действия тех или иных конкретных лазеров, мы видели, что использование эффекта индуцированного излучения в системах с дискретными уровнями энергии (дискретными зонами энергии), т. е. в системах, существенно квантовых, позволило квантовой электронике единым методом генерации охватить огромный спектральный диапазон — от радиоволн до вакуумного УФ излучения. Здесь необходимо подчеркнуть одно многозначительное обстоятельство. Несмотря на существование квантовых усилителей и генераторов (мазеров), генерация электромагнитных колебаний в радио- (СВЧ) диапазоне основывается, главным образом, на взаимодействии потоков свободных электронов с волноводными и резонаторными структурами, т. е. осуществляется классическими методами.

Между тем эффект индуцированного излучения не является по своей природе принципиально квантовым и возможен в классических системах. Закономерен, следовательно, вопрос о возможности переноса электронных методов генерации из СВЧ в оптический диапазон. По аналогии с тем, что существенно квантовые системы способны генерировать колебания в диапазоне от СВЧ до вакуумного УФ, естественно ожидать, что индуцированное излучение таких классических объектов, как свободные электроны, тоже может быть применено для генерации электромагнитных

колебаний в широком спектральном диапазоне от радио- до световых волн.

В соответствии со смыслом слова лазер генератор электромагнитного излучения, использующий индуцированное испускание света электронными потоками, естественно называть лазером на свободных электронах или электронным лазером.

В классической вакуумной электронике СВЧ размеры генерирующих приборов или их характерных частей сравнимы с длиной волны генерируемого излучения. Область взаимодействия электронов с высокочастотным полем излучения, в которой кинетическая энергия электронов преобразуется в энергию поля излучения, представляет собой часть колебательной системы электродинамической резонаторной структуры, которая, как правило, обладает многими собственными частотами. Время пролета электронов через пространство взаимодействия или. что более характерно, время пролета междгу отдельными элементами резонансной структуры совпадает, по крайней мере по порядку величины, с периодом колебаний генерируемого излучения.

Для всех генераторов вакуумной электроники СВЧ принципиально важным является обеспечение синхронизма между перемещением электронов и той электромагнитной волной, в которую перекачивается их энергия. В процессе взаимодействия электронов с высокочастотным полем волны в электронном потоке формируются сгустки частиц (фазовая группировка). Электронные сгустки по мере своего дальнейшего движения отдают энергию полю излучения, взаимодействуя с той его компонентохг, для которой должным образом выполнено условие синхронизма.

Группировка электронов в сгустки характерна для всех приборов СВЧ, хотя ее конкретная реализация может происходить по-разному в разных приборах. Наиболее нагляден процесс группировки электронов в лампе бегущей волны, в которой используется длительное взаимодействие с полем волны электронного потока, распространяющегося прямолинейно вдоль направления распространения бегущей электромагнитной волны. При умеренных, т. е. существенно дорелятивистских, скоростях поступательного движения электронов синхронизм взаимодействия обеспечивается замедлением распространения волны. Простейшая замедляющая структура представляет собой одпозаходную проволочную спираль. Вдоль витка спирали волна распространяется со скоростью, близкой к скорости света с. В направлении оси спирали z фазовая скорость волны составляет примерно , где а — радиус спирали, d — ее шаг. Электроны, двигаясь вдоль оси синхронно с волной, группируются в сгустки под действием ускоряющих и тормозящих участков волны.

Рис. 26.1 показывает простейший случай, когда продольная составляющая электрического поля бегущей волны записывается в виде . На этом рисунке стрелками показаны силы, действующие на электроны. Видно, что электроны с

участков АВ и ВС должны собираться в плоскость B, с участков CD и DE — в плоскость D и т. д. Соответственно, плоскости А, С, Е и т. д. должны опустошаться. Таким образом, в плоскостях В, D и т. д., расположенных друг от друга на расстоянии пространственного периода волны , возникают сгустки электронов.

При точном синхронизме, когда скорость поступательного движения, электронов вдоль оси r равна фазовой скорости волны в направлении движения электронов , электроны неподвижны по отношению к полю бегущей волны, и обмена энергией между электронами и волной нет. При сгустки обгоняют волну, чему на рис. 26.1 соответствует движение, слева направо, т. е. против тормозящей силы. При этом кинетическая энергия движения электронов переходит в энергию СВЧ поля. Следовательно, поле усиливается. Это усиление когерентно, и при соответствующей обратной связи возникает генерация. Как обычно, генерация начинается под действием флуктуационных толчков, в поле излучения которых все более интенсивно происходит образование электронных сгустков, в свою очередь все более интенсивно испускающих электромагнитное излучение. На языке квантовой электроники это и отвечает индуцированному излучению.

Рис. 26.1. К группировке электронов электрическим полем продольной составляющей замедленной бегущей волны. Распределение показано при t = 0.

Лампа бегущей волны представляет собой чрезвычайно широкополосную систему. В рассмотренном случае пространственный период формирования сгустков равен , где Т — временной период колебаний. При спиральной замедляющей системе и в первом приближении не зависит от частоты поля, т. е. дисперсия отсутствует. Условия синхронизма, определяющие частоту колебаний усиливаемого поля, в этом приближении зависят только от скорости электронов, т. е. от разности потенциалов электростатического поля, ускоряющего электроны, и не привязаны к какому-либо характерному собственному пространственному периоду замедляющей структуры, которая тогда может считаться однородной. В силу своей широкополосности лампы бегущей волны обычно используются для усиления слабых сигналов СВЧ. Устройства, применяемые для создания генераторов, обычно существенно более узкополосны. Для них характерно наличие пространственно-неоднородной периодической структуры, обладающей собственными резонансами, т. е. наличие существенно дисперсионной структуры.

Рассмотрим электрон, пролетающий со скоростью У через некоторую пространственно-периодическую систему, характеризуемую пространственным периодом А. На электрон действует

периодическая сила с временным периодом . Следовательно, ускорение электрона меняется периодически с частотой . Этому соответствует движение по пространственно-периодической траектории. Движущийся по такой траектории электрон излучает. При существенно дорелятивистских скоростях частота излучения равна частоте периодического движения . Для макроскопических пространственных периодов длина волны излучения

в нерёлятивистском случае соответствует радиодиапазону.

Ситуация существенно изменяется при увеличении скорости электрона. Релятивистский эффект Доплера приводит к резкому уменьшению длины волны излучения по сравнению с характерными размерами излучающей системы. При скорости электрона, близкой к скорости света в силу релятивистского сокращения масштаба имеем при этом частота периодического воздействия на электрон в сопутствующей электрону системе координат увеличивается до значения , где релятивистский фактор . В лабораторной системе координат обратное лоренцево преобразование приводит к релятивистскому доплеровскому увеличению частоты излучения в направлении скорости движения электрона в раз. Для ультрарелятивистских электронов и в результате длина волны тормозного излучения в лабораторной системе координат резко сокращается по сравнению с пространственным периодом неоднородности :

Для оценки величины j удобна известная релятивистская связь между энергией и массой частицы высокой энергии , где — масса покоя частицы. В физике электронных ускорителей энергию электрона обычно измеряют в электронвольтах, пользуясь соотношением , где е — заряд электрона, a U — разность потенциалов того электростатического поля, которое необходимо для ускорения электрона до скорости V. Тогда

Как известно, энергия покоя электрона составляет . Это означает, что при релятивистский фактор равен , так что при макроскопическом параметре см длина волны излучения попадает в область видимого света.

Следовательно, желая создать лазеры на свободных электронах, мы должны ориентироваться на существенно релятивистские случаи, когда

Роль релятивистских эффектов отнюдь не сводится только к резкому увеличению частоты излучения электронов. Очевидно, при релятивистской скорости электронов автоматически обеспечивается синхронизм электронного и светового пучков. Электронные ускорители, генерирующие пучки электронов сверхвысокой энергии, обычно работают в импульсном режиме.

Рис. 26.2. Схема лазера на свободных электронах: 1 — зеркала, 2 — электронный пучок, 3 — магнитный ондулятор; С и Ю — северный и южный полюсы магнитов ондулятора.

Если за время пролета пространства взаимодействия электронов с волной электронный пакет разойдется со световой волной меньше, чем на длину волны, нарушением синхронизма можно пренебречь.

Правда, существуют и слабо релятивистские приборы, подобные мазерам на циклотронном резонансе, разработанным под руководством А. В. Гапонова-Грехова, которые оказались весьма перспективными источниками коротковолнового СВЧ излучения большой мощности. С целью получения большой мощности при сравнительно низкой частоте генерации (СВЧ или дальний ИК диапазоны) обычно используются сильноточные пучки электронов не слишком высокой энергии. Продвижение в оптический диапазон требует применения электронных пучков большой энергий {см. формулу (26.2)), которые вследствие этого обладают сравнительно низкой плотностью. В случае сильных токов существенную роль играют коллективные эффекты в плазме пучка, роль которых в создании условий для индуцированного излучения вкратце обсуждена в начале этой лекции. В случае слабых токов взаимодействие электронов с полем имеет существенно одночастичный характер. Имея в виду лазер на ультрарелятивистских электронах , дальнейшее рассмотрение проведем в одночастичном приближении. Количественный критерий законности одночастичного подхода мы приведем в конце нашего рассмотрения.

В ондуляторном лазере на свободных электронах релятивистский электронный пучок (обычно это последовательность коротких

электронных пакетов) пролетает через достаточно протяженную область, в которой магнитное поле пространственно периодично (рис. 26.2). Систему, обеспечивающую пространственную периодичность поля, называют ондулятором (от французского onde — волна или ondulatoire — волнообразный, волнообразователь) или виглером (от английского wiggle — покачивать, извиваться). Магнитные ондуляторы создают вблизи оси пучка постоянное во времени поперечное пространственно-периодическое-линейно или циркулярно поляризованное поле.

Рассмотрим лазер со спиральным ондулятором, магнитное поле на которого циркулярно поляризовано. При круговой поляризации волны, распространяющейся вдоль оси z параллельно электронному пучку, электроны находятся в полях, определяемых векторными потенциалами поля ондулятора и поля электромагнитной волны А:

Здесь х и у — единичные векторы вдоль осей перпендикулярных друг к другу и к оси Oz; Е - напряженность электрического поля; — частота распространяющейся вдоль электромагнитной волны; и —период и напряженность магнитного поля ондулятора).

В системе координат, движущейся с первоначальной скоростью электронов , потенциалы (26.5) принимают вид

где величины со штрихом относятся к движущейся системе координат и в соответствии с (26.3) и (26.4)

Первая из формул (26.6) показывает, что в сопутствующей системе координат потенциал поля ондулятора становится близким к потенциалу плоской волны частоты Q. Другими словами, релятивистский электрон воспринимает статическое пространственно-периодическое магнитное поле как распространяющуюся навстречу ему электромагнитную волну с длиной волны . Условие резонанса определяет ту частоту поля, в окрестности которой возможны усиление и генерация в ондуляторном лазере на свободных электронах. В лабораторной системе отсчета это условие дает значение

что полностью эквивалентно приведенной выше формуле (26.2).

Уравнения движения электрона в сопутствующей системе отсчета запишем в виде (см.: Ландау Л. Д., Лифшиц. Е. М. Теория поля. - М.: Наука, 1973, § 17)

где z — единичный вектор вдоль оси Oz; — импульс и скорость электрона; и учтено, что А не зависит от поперечных координат. В силу этой независимости легко написать первый интеграл уравнения (26.8), определяющий движение электрона в плоскости :

Если считать движение электрона в сопутствующей системе координат иерелятпвпстскпм, то интеграл (26.9) прямо определяет скорость электрона в поперечной плоскости:

(26.10)

Как видно из записи (26.6), векторный потенциал А не имеет продольной компоненты что соответствует характеру намотки двухзаходной спирали соленоида, создающего ондуляторное поле, и поперечности распространяющейся в ондуляторе электромагнитной волны. Тогда уравнение для продольной компоненты импульса электрона согласно (26.8) принимает вид

(26.11)

Подставив в (26.11) значения компонент скорости из (26.10), легко найти, что

(26.12)

Сумма квадратов поперечных составляющих суммарного векторного потенциала А равна

Подставляя это выражение в (26.11) и учитывая, что при нерелятивистском движении в сопутствующей системе координат , получаем уравнение для продольной координаты электрона z в этой системе:

(26.14)

Аргумент синуса определяет фазу движения электрона в полях ондулятора и распространяющейся в нем волны:

(26.15)

Связь фазы с продольной координатой движения электрона z и временем t в лабораторной системе отсчета может быть получена с помощью обратного преобразования Лоренца:

(26.16)

В окрестности резонанса, т. е. при , имеем

(26.17)

Переходя в лабораторную систему отсчета и подставляя в (26.17) значения и , получаем уравнение

(26.18)

Таким образом, уравнение движения электрона в ондуляторе сводится к уравнению классического математического маятника для фазы этого движения. Это свидетельствует о наличии глубокой аналогии между лазером на свободных электронах и электронными приборами СВЧ, которые в приближении заданного ноля также описываются подобными уравнениями.

Дальнейший анализ требует задания начальных условий. В момент входа электрона в ондулятор фаза имеет некоторое, вообще говоря, произвольное значение . Второе начальное условие легко получить дифференцированием выражения (26.16), служащего определением фазы. В результате при t = 0 имеем

Заметим, что начальная скорость изменения фазы пропорциональна отстройке частоты излучения от резонансного значения.

Уравнение (26.18) с начальными условиями (26.19) полностью определяет движение электрона в полях волны и ондулятора и позволяет определить основные характеристики лазера.

Найдем энергию, излучаемую электроном в ондуляторе за один проход. Энергия, излучаемая в единицу времени, определяется как взятая с обратным знаком работа, совершаемая полем волны над электроном:

(26.20)

где по определению . Это уравнение позволяет

установить нростую связь между излучаемой энергией F и фазой .

Действительно, с учетом (26.9) поперечная скорость электрона в лабораторной системе координат равна

Подставляя (26.6) в (26.21), а (26.21) в (26.20), после простых преобразований получаем

Но связан с уравнением маятника (26.18), что и дает искомую связь в достаточно простой форме:

Здесь полная энергия релятивистского электрона.

Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий (26.19) для и при естественном предположении, что дает

Воспользуемся далее хорошо известным первым интегралом уравнения движения маятника, который выражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий маятника в произвольный момент времени равна их сумме в начальный момент времени . В наших обозначениях с учетом начальных условий (26.19) это означает, что

(26.25)

Отметим, что уровень полной энергии маятника определяется как начальной фазой так и расстройкой . В приближении слабого сигнала

(26.26)

где учтено, что время прохождения электроном ондулятора длины L равно т. е. при наш аналог маятника совершает не колебательное, а вращательное движение относительно некоторого положения равновесия, совершая полные обороты с круговой частотой . Это означает, что в приближении слабого сигнала уравнение (26.25) может решаться методом итераций по отношению к слагаемому

Не загромождая изложение протяженными выкладками, отметим, что в нулевом порядке излучаемая энергия (26.24) равна нулю. В отсутствие поля электромагнитной волны нет ни излучения, ни поглощения. В следующем, первом, приближении излучаемая энергия оказывается пропорциональной или . Но в электронных ускорителях высокой энергии электронный пучок состоит, как уже отмечалось, из электронных сгустков (электронных пакетов) конечной длительности с продольным размером, обычно не меньшим 1 мм, что существенно превышает длину волны света. Следовательно, излучаемая энергия должна быть усреднена по начальной фазе .

В результате такого усреднения в первом порядке излучаемая энергия обращается в нуль. Только во втором порядке итераций уравнение (26.25) дает отличную от нуля среднюю скорость изменения фазы, что с помощью (26.24) позволяет определить среднюю энергию, излучаемую электроном за один проход F. Эта величина естественным образом связана со значением коэффициента усиления излучения за один проход по мощности , а именно:

(26.27)

где — электронная плотность. В результате довольно громоздких выкладок получается выражение

где введены обозначения — число периодов ондулятора, L — его длина.

Фактор определяет дисперсионную зависимость . Усиление возможно при или . Максимальный коэффициент усиления достигается при . Это условие определяет ширину полосы усиления:

(26.29)

обусловленную конечной длиной ондулятора и являющуюся аналогом обычной однородной ширины линии. Подчеркнем, однако, что формула (26.28) получена для моноэнергетического пучка электронов. В реальных условиях дело обстоит не всегда так, и если разброс электронов по энергиям в пучке достаточно велик, то возникает неоднородное уширение, которое может оказаться более существенным, чем однородное.

При выполнении неравенства неоднородное уширение превышает однородное и формулу (26.28) необходимо усреднить по функции распределения электронов по энергиям

. В случае сильного неоднородного уширения фактор можно аппроксимировать дельта-функцией: . Тогда после усреднения по получаем

Здесь введено обозначение и принято, что функция распределения нормирована условием , в силу чего . Максимальный коэффициент усиления достигается при , где W — средняя энергия электронов в пучке. Отсюда следует, что ширина полосы усиления в этом случае равна

(26.31)

Формула (26.30), справедливая при допускает наиболее прямую аналогию с лазерами, основанными на переходах между дискретными уровнями атомов или молекул. В самом деле, условие отрицательности поглощения выполняется, если Это означает, что усиление осуществляется электронами, соответствующими возрастающему крылу функции распределения, и наоборот, поглощению отвечает ниспадающее крыло распределения электронов по энергии. Другими словами, усиление наблюдается при условии, что число электронов с большей энергией в окрестности больше числа электронов с меньшей энергией. А это есть не что иное, как условие инверсии населенности уровней применительно к системе с непрерывным спектром. При неоднородном уширении условием отрицательного поглощения является обычное условие инверсии населенностей в окрестности энергии определяемой частотой и периодом ондулятора .

Формулы (26.28) и (26.30) получены в одночастичном приближении. Вместе с тем, как уже говорилось раньше, в случае больших электронных токов существенную роль могут, вообще говоря играть коллективные эффекты в плазме пучка. Однако если в сопутствующей релятивистским электронам системе координат произведение инкремента развития плазменных неустойчивостей на время пролета электронов через ондулятор мало, то неустойчивости не возникают и коллективными эффектами можно пренебречь. Максимальный инкремент развития неустойчивостей в плазме определяется плазменной частотой Условием одночастичности взаимодействия является выполнение требования , где и t — соответственно плазменная частота и время взаимодействия в движущейся системе координат. Обратное лоренцево преобразование для времени и продольной

координаты приводит к условию , которое для ультрарелятивистских электронов всегда выполняется с большим запасом.

Итак, мы видим, что пучок релятивистских электронов, распространяющихся прямолинейно в магнитном ондуляторе, способен усиливать, а значит, при соответствующей обратной связи генерировать, излучение на длинах волн, определяемых пространственным периодом ондулятора и значением релятивистского фактора f, т. е. энергией электронов. При этом перестройка длины волны излучения естественно осуществляется изменением энергии электронов. Лазер такого типа может, в принципе, работать от волн субмиллиметрового диапазона до дальнего УФ излучения. При характерной длине ондулятора в несколько метров и пространственном периоде 1—3 см относительная однородная ширина линии усиления составила бы . Обычно относительная немоноэнергетичность электронных пучков превышает эту величину.

Сравнительно легко в ондуляторах с помощью двойных сверхпроводящих спиралей достигается циркулярно поляризованное магнитное поле с индукцией в несколько килогаусс. В этих условиях при электронном токе в пучке в несколько ампер для ближней ИК области спектра при энергии электронов 20—30 МэВ получено усиление за проход в несколько процентов (порядка 10%) и генерация с выходной пиковой мощностью порядка

Ускорители электронов, используемые как источники электронных пучков, работают обычно в импульсном режиме. Длительность импульсов электронного пучка составляет, как правило. величину порядка 1 мкс. Однако эти импульсы отнюдь не являются гладкими, а представляют собой регулярную последовательность коротких сгустков (электронных пакетов) существенно меньшей (обычно пикосекундной) длительности. В некоторых ускорителях оказывается возможным реализовать непрерывную последовательность таких сгустков.

Для замыкания цепи обратной связи необходимо, чтобы временной интервал между сгустками в регулярной последовательности их поступления на вход ондулятора был кратен двойному времени пробега излучения через резонатор. Только в этом случае излучение, созданное электронными сгустками и накопленное в резонаторе лазера при многократных отражениях от его зеркал, поступает в виде волновых пакетов на вход ондулятора синхронно с электронными пакетами и усиливается в течение всего времени существования последовательности электронных сгустков, В результате лазерная генерация осуществляется в виде последовательности коротких импульсов, разделенных интервалами времени, равными или кратными двойному времени прохода излучения между зеркалами резонатора лазера, расстояние между которыми практически равно длине ондулятора.

Заметим, что такой режим работы полностью эквивалентен режиму синхронизации мод в лазерах на красителях (см. лекцию двадцать вторую), накачиваемых последовательностью лазерных импульсов с временным интервалом, кратным времени пробега излучения через резонатор лазера.

Немонохроматичность излучения лазера на свободных электронах определяется, таким образом, длительностью электронных сгустков. Сгустки длительностью 3 нс занимают в пространстве область протяженностью примерно 1 мм и приводят к ширине спектра излучения . Увеличение монохроматичности лазеров на свободных электронах требует удлинения электронных сгустков (конечно, при условии сохранения пикового значения электронного тока).