ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЛАЗЕРОВ

Лекция первая. КОЭФФИЦИЕНТЫ ЭЙНШТЕЙНА

Определение квантовой электроники. Индуцированные и спонтанные переходы, коэффициенты Эйнштейна. Когерентность индуцированного излучения.

Начиная курс лекций но основам квантовой электроники, определим предмет этих лекций. По определению, даваемому Большой Советской Энциклопедией, квантовая электроника — это область физики, изучающая методы усиления и генерации электромагнитного излучения путем использования эффекта индуцированного испускания излучения в термодинамически неравновесных квантовых системах, свойства получаемых таким образом усилителей и генераторов и их применения. Наиболее известными приборами квантовой электроники являются мазеры и лазеры. Поэтому в узком смысле слова можно говорить о квантовой электронике как о науке о мазерах и лазерах, имея при этом в виду, что мазеры — это квантовые усилители и генераторы когерентного электромагнитного излучения радиочастотного (СВЧ) диапазона, а лазеры относятся к оптическому диапазону.

Высокая степень концентрации световой энергии в очень узком телесном угле и малом спектральном интервале, т. е. высокая направленность и монохроматичность излучения, является основной характерной чертой лазеров и существенно отличает их от обычных источников света. К этому примыкает способность лазеров концентрировать большую энергию в чрезвычайно малых отрезках времени. В свою очередь, мазеры-генераторы отличаются от обычных источников радиоизлучения высокой стабильностью частоты генерации, а мазеры-усилители отличаются от классических электронных радиоусилителей низким уровнем шумов.

Все это обусловлено тем, что для усиления излучения в квантовой электронике используется эффект индуцированного испускания излучения, что нашло свое точное отражение в твердо установившейся терминологии. Термин «мазер» («лазер») образован из начальных букв английского выражения microwave (light) amplification by stimulated emission of radiation, что означает усиление СВЧ радиоволны (света) с помощью эффекта индуцированного испускания излучения.

Отсюда видно, что принципиальной разницы между мазерами и лазерами нет, а практическое различие между ними исчезает при переходе от волн миллиметрового диапазона к субмиллиметровым волнам. Наибольший интерес, однако, привлекают к себе лазеры в силу своей способности предельно концентрировать световую энергию в пространстве, во времени и в спектральном интервале. Эта способность лазеров является их определяющим свойством и может служить как наиболее полное их функциональное определение. Под световой следует, конечно, понимать энергию оптического излучения инфракрасного (ИК), видимого и ультрафиолетового (УФ) диапазонов.

В силу вышеизложенного целесообразно курс основ квантовой электроники понимать как курс основ физики лазеров, дополненный изложением принципов действия наиболее интересных из них.

Рис. 1.1. Схема двух уровней энергии (населенности соответственно). Показаны переходы сверху вниз с вероят постью и снизу вверх с вероятностью IV (прямые стрелки), а также спонтанный переход с вероятностью (волнистая стрелка).

При этом чрезвычайно важная область применений лазерного излучения может быть затронута только в виде ссылок на наиболее представительные примеры таких применений.

Основой квантовой электроники как науки в целом служит явление индуцированного излучения, существование которого было постулировано А. Эйнштейном в 1916 г. В квантовых системах, обладающих дискретными уровнями энергии, существуют три типа переходов между энергетическими состояниями: переходы, индуцированные электромагнитным полем, спонтанные переходы и безызлучательные релаксационные переходы. Свойства индуцированного излучения определяют когерентность излучения и усиления в квантовой электронике. Спонтанное излучение обусловливает наличие шумов, служит затравочным толчком в процессе усиления и возбуждения колебаний и, вместе с безызлучательными релаксационными переходами, играет важную роль при получении и удержании термодинамически неравновесного излучающего состояния.

При индуцированных переходах квантовая система может переводиться из одного энергетического состояния в другое (рис. 1.1) как с поглощением энергии электромагнитного поля (это переход с нижнего энергетического уровня на верхний), так и с излучением электромагнитной энергии (это переход с верх него уровня на нижний).

Индуцированные переходы обладают следующими важными свойствами.

Во-первых, вероятность индуцированных переходов отлична от нуля только для внешнего поля резонансной частоты; энергия кванта которого совпадает с разностью энергий двух рассматриваемых изолированных состояний (двух уровней с энергиями соответственно, где индекс 2 относится к большей энергии, а индекс 1 — к меньшей). Это условие соответствия постулату Бора:

Во-вторых, кванты электромагнитного поля, излученные при индуцированных переходах, полностью тождественны квантам поля, вызвавшего эти переходы, Это означает, что внешнее электромагнитное поле и поле, созданное при индуцированных переходах, имеют одинаковые частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, т. е. они неразличимы (тождественны).

В-третьих, вероятность индуцированных переходов в единицу времени пропорциональна плотности энергии внешнего поля в единичном спектральном интервале (спектральной объемной плотности энергии) :

где — коэффициенты Эйнштейна для индуцированного поглощения и излучения соответственно, а порядок индексов 1 и 2 указывает направление перехода.

Таким образом, индуцированное излучение — это излучение вынужденное, стимулированное внешним излучением. Полная тождественность стимулированного (т. е. вторичного) и стимулирующего (т. е. первичного) излучений приводит к когерентности усиления и излучения в квантовой электронике.

Однако, кроме индуцированного внешним полем, существует и самопроизвольное испускание излучения. Атомы (молекулы, ионы, электроны), находящиеся в верхнем энергетическом состоянии, могут совершать спонтанные переходы в нижнее состояние. Эти переходы самопроизвольны. Происходящий при спонтанном излучении распад верхнего энергетического состояния подобен радиоактивному распаду неустойчивого ядра. Вероятность спонтанных переходов не зависит от внешнего электромагнитного поля, акты спонтанного излучения никак не связаны с внешним полем. Поэтому спонтанное излучение некогерентно по отношению к внешнему полю и играет роль собственных шумов. Кроме того, спонтанное излучение опустошает верхний энергетический уровень, способствуя возвращению атома в нижнее энергетическое состояние.

Спонтанное излучение является эффектом принципиально квантовым, не допускающим классической трактовки. В классической механике метастабильное состояние, обладающее большей

энергией по отношению к некоторому основному устойчивому состоянию, в отсутствие внешних возмущений может жить бесконечно долго. В квантовой области такое метастабильное состояние спонтанно распадается с некоторой отличной от нуля средней скоростью.

Рассмотрим теперь несколько подробнее свойства индуцированного и спонтанного излучений. Соотношение между вероятностями спонтанного и индуцированного переходов можно определить, следуя Эйнштейну, из термодинамического рассмотрения.

Рассмотрим ансамбль квантовых частиц, находящихся в термостате при температуре Т. Найдем условия равновесия этого ансамбля в поле его собственного излучения, испускаемого и поглощаемого при переходах между уровнями энергии составляющих ансамбль частиц.

Пусть рассматриваемая квантовая система обладает двумя уровнями энергии при переходах между которыми поглощается или излучается квант энергии . При термодинамическом равновесии ансамбль не теряет и не приобретает энергии. Следовательно, в единицу времени во всем ансамбле общее число переходов из верхнего энергетического состояния в нижнее должно быть равным общему числу переходов из нижнего состояния в верхнее. Общее число переходов определяется числом частиц на уровнях энергии или, как принято говорить в квантовой электронике, населенностью уровней.

При тепловом равновесии распределение частиц по уровням подчиняется формуле Больцмана:

где — кратности вырождения (статистические веса) уровней 2 и 1, k — постоянная Больцмана.

Полное число переходов равно произведению числа частиц в состоянии 2 на вероятность перехода в единицу времени для одной частицы.

Нам уже известно, что свободная частица, находящаяся в возбужденном состоянии, в конце концов отдает свою избыточную энергию в виде кванта излучения вне зависимости от какого-либо внешнего воздействия. Вероятность самопроизвольного перехода частицы из верхнего состояния в нижнее пропорциональна времени. За время dt эта вероятность составляет по предположению

где — коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения. Таким образом, постулируется, что. вероятность спонтанного испускания излучения в единицу времени, или, что то же самое, скорость спонтанного распада, постоянна и равна по определению

соответствующему коэффициенту Эйнштейна :

Спонтанное излучение описывает процесс самопроизвольного перехода частицы из верхнего состояния в нижнее. Самопроизвольных переходов снизу вверх не бывает. Заселение верхнего уровня происходит в рассматриваемой ситуации путем индуцированных переходов при поглощении квантов.

Частицы рассматриваемого ансамбля находятся в поле их собственного излучения, плотность энергии которого в единичном спектральном интервале составляет . Это поле индуцирует переходы из верхнего состояния в нижнее и обратно. Вероятности этих переходов по предположениям (1.2) и (1.3) пропорциональны . Теперь, комбинируя (1.6), (1.4), (1.3) и (1.2), мы можем из условия равновесия

найти соотношения между коэффициентами . В уравнении (1.7) приравнены друг к другу полные числа переходов снизу вверх (слева) и сверху вниз (справа). Это уравнение позволяет легко найти плотность энергии поля излучения рассматриваемой равновесной квантовой системы:

Отсюда вытекают важные следствия. Эйнштейн постулировал, что излучение, испускаемое и поглощаемое при равновесных переходах между энергетическими состояниями рассматриваемой равновесной квантовой системы, описывается формулой Планка для равновесного излучения абсолютно черного тела. Тогда для свободного пространства

где с — скорость света.

Если мы сопоставим две эти формулы с известным частотным условием Бора (1.1), то увидим, что постулат Эйнштейна совместим с постулатом Бора. Дальнейшее сравнение приводит к важному выводу о том, что между коэффициентами Эйнштейна для индуцированных переходов выполняется соотношение

Это соотношение говорит о равновероятности индуцированных излучения и поглощения (в пересчете на одно невырожденное состояние), чем оно и важно.

Далее, вероятность спонтанного излучения пропорциональна коэффициенту Эйнштейна для индуцированного излучения:

Таким образом, для описания термодинамического равновесия между системой квантовых (т. е. обладающих дискретными уровнями энергии) частиц и полем ее излучения Эйнштейн ввел индуцированные полем равновероятные (с учетом кратности вырождения) переходы из верхнего состояния в нижнее и из нижнего в верхнее. Требование равновесия приводит к такому соотношению между спонтанным и индуцированным излучениями, при котором для одной частицы вероятность переходов в единицу времени с испусканием квантов излучения равна

Существенно, что пропорциональна и, следовательно, там, где запрещены индуцированные переходы, не может быть спонтанного излучения и наоборот, где нет спонтанного излучения, не может быть индуцированного излучения.

Равновесное излучение всего ансамбля частиц по отношению к каждой из частиц выступает как внешнее электромагнитное поле, стимулирующее поглощение или излучение частицей в зависимости от ее состояния. Поэтому приведенные выше выражения (1.10) — (1.12), полученные при рассмотрении условий равновесия, справедливы и для случая квантовой системы, находящейся в поле внешнего излучения.

В соотношение между вероятностями спонтанного и индуцированного излучений входит величина , равная числу осцилляторов (типов волн, типов колебаний или мод) в единичном спектральном интервале для свободного пространства. Вероятность спонтанного излучения пропорциональна , и поэтому его роль мала на радиочастотах и велика в оптике.

Для квантовой электроники, однако, определяющей является пропорциональность вероятности индуцированного излучения плотности энергии индуцирующего поля. При достаточно большой плотности этого поля происходит главным образом индуцированное излучение, которое когерентно.

Теперь уместно обсудить несколько подробнее вопрос о когерентности индуцированного излучения. Здесь целесообразно еще раз подчеркнуть, что если спонтанное излучение является эффектом чисто квантовым (с классической точки зрения возбужденный свободный атом может жить вечно), то индуцированное имеет классические аналоги.

Так, классический гармонический осциллятор, совершающий - свободные колебания и находящийся в поле резонансного ему

монохроматического излучения, раскачивается этой внешней силой. Частота и фаза его колебаний, как это хорошо известно, определяются частотой и фазой внешней силы. Вместе с тем при определенном фазовом соотношении между исходными свободными колебаниями осциллятора и внешней силой мощность, поглощаемая в осцилляторе, может быть отрицательной. Это означает, что для некоторых фаз осциллятор передает энергию внешнему полю под влиянием этого внешнего поля. Происходит индуцированное излучение, которое в силу классической гармонической природы осциллятора и силы когерентно.

Надо, однако, иметь в виду, что классический эффект передачи энергии осциллятора полю, происходящий в случае, когда колебания осциллятора и поля находятся в противофазе, дает энергию излучения, пропорциональную первой степени напряженности поля внешней силы. Вместе с тем вероятность индуцированного пзлучения пропорциональна плотности энергии индуцирующего поля, т. е. квадрату напряженности этого поля. Тем не менее классическую теорию индуцированного излучения можно построить, но лишь при рассмотрении ансамбля классических осцилляторов, которые группируются под действием внешнего поля. Индуцированные радиационные процессы обусловлены когерентным излучением образовавшихся сгустков, расстояние между частицами в которых много меньше длины волны.

Вернемся в квантовую область.

Критерием когерентности тех или иных колебаний является наличие постоянного фазового соотношения между ними. В квантовой теории в силу соотношения неопределенностей «число квантов — фаза волны»

фаза электромагнитной волны определена только в случае, когда число квантов n неопределенно. Поэтому бессмысленно говорить о фазе одного кванта. Однако если для двух волн известна разность фаз, а не значения индивидуальных фаз, то соотношение неопределенностей разрешает определение полного числа квантов, оставляя неопределенным, к какой именно из волн какие кванты относятся. Поэтому при сложении в одну волну когерентных электромагнитных излучений, соответствующих нескольким квантам, мы говорим о сложении тождественных, неразличимых квантов.

Кванты, соответствующие излучениям с одинаковыми частотами, направлениями распространения, фазами и поляризациями, нельзя отличить друг от друга. При этом кванты электромагнитного излучения — фотоны подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; число квантов, которые могут приходиться на один осциллятор поля (один тип колебаний, одну моду), т. е. обладать одним и тем же значением частоты, фазы и т. д., неограниченно. Состояние всего поля излучения определяется числом фотонов

в моде. Именно это при большом числе неразличимых квантов позволяет переходить к классическому рассмотрению электромагнитного излучения, для которого характерен принцип суперпозиции колебаний, в том числе и когерентных. В силу характерных свойств бозонов с ростом числа актов индуцированного испускания излучения в единицу времени интенсивность индуцирующей, т. е. исходной, волны нарастает, а ее фаза, частота и т. д. остаются неизменными.

Последовательная квантовая теория излучения и поглощения света была сформулирована П. А. М. Дираком в 1927 г. Изложенные выше качественные соображения о спонтанном и индуцированном-излучениях и о когерентности индуцированного излучения строго рассмотрены в §§ 61, 62 его хорошо известной книги «Принципы квантовой механики» (М.: Наука, 1979).

Однако важные результаты могут быть получены и при полуклассическом рассмотрении, применение которого в целом характерно для квантовой электроники. В этом рассмотрении система «частица — поле излучения» разбивается на две части — квантовая частица и классическое поле излучения. Частица описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера, в которое входит гамильтониан взаимодействия с классическим полем, рассматриваемым как возмущение. Уравнение описывает влияние поля на частицу и позволяет, во всяком случае в принципе, вычислить дипольный момент частицы. Затем предполагается, что полученный диполь излучает классически; в свою очередь, это дает учет влияния частицы на поле. Здесь легко прослеживается сохранение когерентности излучаемых квантов. Поле вынуждает появление осциллирующего диполыюго момента, когерентного вынуждающей силе. В свою очередь, осциллирующий дипольный момент излучает опять-таки когерентное ему поле.

Эта когерентность, как мы знаем, приводит ко всем тем многообразным свойствам лазеров, которые разительно отличают их от обычных источников света.