Лекция седьмая. ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Резонаторы в электронике. Переход к коротким волнам. Падение добротности и сгущение резонансов замкнутых объемов. Открытые резонаторы, прореживание спектра. Число Френеля. Моды. Время жизни моды пассивного резонатора. Дифракционные потери. Метод Фокса и Ли. Интегральное уравнение открытого резонатора.

Предыдущее изложение приводит к выводу, что в основе квантовой электроники лежит активная среда с инверсией населенностей, охваченная положительной обратной связью, осуществляемой эффектом индуцированного испускания излучения в резонаторе. В этом сочетании активной среды, индуцированного излучения и резонатора активная среда запасает энергию и усиливает генерируемое излучение, индуцированное излучение обеспечивает когерентность усиления, а резонатор формирует спектральные и пространственные свойства генерируемого излучения.

Квантовая электроника, по крайней мере по своему происхождению, является частью электроники, к настоящему времени — оптической частью электроники. Хорошо известно, что в классической электронике длинноволнового и СВЧ диапазонов определяющей характеристикой монохроматического излучения является его частота. Значение частоты задается резонансным контуром. Для длинных волн используются квазистационарные цепи переменного тока, т. е. цепи с сосредоточенными постоянными. Следовательно, размеры соответствующих резонансных контуров много меньше длины волны излучения. При переходе к СВЧ в силу резкого укорочения длины волны цепи становятся существенно нестационарными, волновыми.. Для канализации энергии в этом диапазоне применяются волноводы разного типа — коаксиальные, полые трубчатые, диэлектрические. Отрезки этих волноводных устройств, должным образом закороченные и пространственно организованные в соответствии с электродинамикой СВЧ и ожидаемым распределением полей в них, являются резонаторами СВЧ.

Наиболее известны пустотелые металлические объемные резонаторы. Малые потери в стенках при высоких коэффициентах отражения от хорошо проводящего металла приводят к высокой добротности этих резонаторов. Конфигурация и распределение полей в резонаторах СВЧ сильно отличаются от случая свободного пространства. Линейные размеры этих резонаторов сравнимы с длиной волны. Поэтому спектр собственных колебаний этих резонаторов сильно разрежен. Как правило, в диапазоне СВЧ сравнительно просто реализуются такие конфигурации объемных резонаторов, при которых в широком диапазоне частот резонатор обладает одним собственным колебанием. Резонаторные системы СВЧ определяют частоту генерации автоколебательных систем СВЧ.

Длинные радиоволны, как правило, излучаются во внешнее пространство ненаправленно, почти изотропно. По мере укорочения длины волны и особенно при переходе к СВЧ становится возможным формирование резко анизотропных пространственных распределений излучения, называемых в электронике диаграммами направленности излучения. Формирование этих диаграмм осуществляется внешними по отношению к генератору антенными системами, обычно интерференционными, в более коротковолновой области — квазиоптическими, но всегда много большими длины волны по размеру. Примерами служат антенные системы радиолокационных станций, систем связи типа «Орбита» и т. п.

При дальнейшем увеличении частоты и переходе в субмиллиметровый или ПК диапазон изготовление объемных резонаторов с размерами порядка длины волны становится технологически невозможным. Поэтому необходим переход к резонаторам с размерами, много большими длины волны. Вкратце об этом говорилось в предыдущей лекции при определении условий самовозбуждения лазеров и, главным образом, в связи с частотой генерации. В резонаторе с линейными размерами, многократно превышающими длину волны, возможен набор направлений распространения излучения. Обратная связь в нем осуществляется эффектом индуцированного испускания фотонов, обладающих одинаковыми частотами, поляризациями и направлениями распространения излучения, т. е. одинаковыми и . Следовательно, резонатор определяет баланс фаз в четырехмерном пространстве и , где — некоторый радиус-вектор. Другими словами, такой резонатор определяет четырехмерную частоту генерации или набор таких частот. Отсюда вытекает, что в квантовой электронике резонатор формирует одновременно частоту осцилляций и направление распространения генерируемого излучения, т. е. временные и пространственные его характеристики, оказывающиеся тесно связанными друг с другом.

Итак, в оптическом диапазоне используются резонаторы с размерами, много большими длины волны. Здесь необходимо подчеркнуть, что дело не только в технологических трудностях изготовления резонаторов микрометровых или субмикрометровых размеров или в малости их объема и, значит, мощности или энергии генерации. Суть дела заключается в том, что по мере пропорционального длине волны уменьшения размеров полых металлических объемных резонаторов их добротность падает. Действительно, для замкнутой металлической полости, как это показывается в курсах электродинамики СВЧ, добротность определяется отношением характерного линейного размера резонатора а к глубине проникидвения излучения в металл :

При нормальном скин-эффекте глубина проникновения поля в - металл обратно пропорциональна корню квадратному из частоты:

. По предположению, линейный размер резонатора следует за длиной волны. Следовательно, . В результате , т. е. даже в совершенно нереалистическом предположении сохранения всех остальных условий добротность резко падает при переходе от СВЧ диапазона к оптическому.

Значит, необходим переход к резонаторам, размеры которых велики по сравнению с длиной волны. Здесь, однако, следует принимать во внимание еще одно обстоятельство. В большом по сравнению с длиной волны замкнутом объеме число осцилляторов поля в единичном объеме и единичном спектральном интервале совпадает с таковым для свободного пространства. Это число, равное

было введено в лекции первой при обсуждении вопроса о вероятностях спонтанного и индуцированного излучений (см., например, (1.12)). В объеме V и в частотном интервале общее число осцилляторов поля составляет

Частотный интервал, приходящийся на один осциллятор (одно собственное колебание замкнутого объема), составляет

т. е. падает обратно пропорционально . Вместе с тем ширина полосы частот, приходящихся на одно колебание, определяется добротностью этого колебания Q.

В случае замкнутой полости больших размеров величина а в формуле (7.1) от частоты не зависит , и для нормального скин-эффекта добротность оказывается пропорциональной Следовательно, ширина резонансной кривой соответствующего колебания оказывается пропорциональной

Сравнение (7.4) и (7.5) показывает, что с увеличением частоты или объема резонансные кривые колебаний замкнутой полости перекрываются. А это означает, что резонатор теряет свои резонансные свойства.

Итак, в оптическом диапазоне резонатор с размерами порядка длины волны не может быть применен в силу технологических трудностей и из-за резкого падения добротности; резонатор типа замкнутой металлической полости больших по сравнению с длиной волны размеров не может быть применен в силу высокой плотности его собственных колебаний, приводящей к потере резонансных свойств. Необходимы большие резонаторы с разреженным спектром собственных колебаний.

Наиболее перспективным и поэтому получившим наибольшее распространение способом прореживания спектра собственных

колебаний резонаторов большого объема при сохранении высокой добротности стало применение открытых резонаторов.

Рассмотрим открытый резонатор, состоящий из двух плоских дисков радиусом а, разнесенных на расстояние Z, обладающих коэффициентом отражения , параллельных друг другу n установленных на одной перпендикулярно к ней. Простейшую оценку можно сделать, считая, что между дисками распространяется система плоскпх волн. Именно так мы поступили в лекции шестой при выводе формулы (6.2) для добротности этого резонатора. этом было отмечено, что действие отражающих поверхностей можно рассматривать как увеличение в раз пути l, проходимого плоской волной. Это эффективное увеличение пути имеет тот смысл, что соответствующая плоская волна затухает в е раз за отражений.

Кроме волны, распространяющейся строго перпендикулярно к поверхности дисков, в объеме между дисками могут возбуждаться и другие волны, распространяющиеся почтп нормально поверхности дисков. Если плоская волна, распространяющаяся под некоторым углом к оси резонатора, успеет отразиться раз, прежде чем выйдет за пределы дисков, то соответствующий ей резонанс обладает добротностью примерно вдвое меньшей, чем в случае нормального распространения. Следовательно, угол

является предельным углом, ограничивающим направления распространения волн в резонаторе, соответствующие колебаниям с высокой добротностью. Значит, из общего чпсла колебаний (7.3) большой добротностью обладают те, направления распространения волн которых лежат в телесном угле

Умножая (7.3) на отношение мы получаем после несложных преобразований общее число этих колебаний в полосе частот

где — длина волны. В такой же записи (7.3) принимает вид

Сравнение этих формул свидетельствует о значительном, в раз, уменьшении числа собственных колебаний, попадающих в единичный спектральный интервал в случае открытого резонатора. Причиной столь сильного прореживания спектра собственных колебаний является отсутствие боковых стенок у открытого резонатора.

Формуле (7.7) целесообразно придать другой вид. Частотный интервал, приходящийся на одно колебание открытого резонатора, составляет в соответствии с (7.7) 1

Вместе с тем ширина полосы частот одного колебания определяется его добротностью, даваемой формулой (6.2):

Резонансные кривые различных колебаний не перекрываются, когда отношение

где введено обозначение для числа Френеля

Проведенное выше рассмотрение выполнено в приближении геометрической оптнки с полным пренебрежением дифракционными явлениями. Критерием применимости геометрической оптики является условие . Напомним, что, по существу, именно этнм условием мы пользовались в лекции пятой при выводе формулы (5.14) для эффективной спектральной плотности входных шумов квантового усилителя бегущей волны. Возвращаясь к (7.11), мы видим, что при достаточно высоком отражении зеркал открытого резонатора, т. е. при достаточно высокой добротности резонатора, возможно достижение удовлетворительного прореживания спектра собственных колебаний даже при больших числах Френеля.

Таким образом, открытые резонаторы являются удобными резонансными системами для квантовой электроники оптического диапазона. Собственные колебания (типы колебаний) резонатора принято называть его модами. По определению мода резонатора — это распределение поля в резонаторе, воспроизводящееся при многократном распространении волны между зеркалами резонатора. Наличие реальных потерь энергии приводит к затуханию колебаний, соответствующих той или иной моде, если только развитие моды не поддерживается излучением активной среды.

Пусть потери энергии излучения, распространяющегося в виде той или пной колебательной моды резонатора между его зеркалами, могут быть описаны некоторым эквивалентным коэффициентом поглощения а:

Величина а определяется потерями на поглощение и рассеяние

света средой междузеркалами, а также дифракционными потерями и потерями при отражении. Эту величину удобно представить в виде , где А — коэффициент поглощения энергии излучения за один проход резонатора длины l. Вводя плотность энергии и учитывая соотношение , получаем уравнение

решение которого

свидетельствует об экспоненциальном характере затухания собственных колебаний резонатора с характерным временем

Время Тэфф, названное временем жизнп фотона в моде, простым соотношением связано с добротностью этой моды. По определению (6.1)

где Т — период собственных колебаний рассматриваемой моды, причем для всех сколько-нибудь добротных мод . Каждому виду потерь соответствует свое время жизнп. Так как потери складываются, то результирующее время жизни моды определяется очевидным соотношением:

Аналогичное выражение справедливо и для добротности:

где индекс i указывает вид потерь энергии, определяющих соответствующую парциальную добротность (время жизни).

Особое значение в открытых резонаторах имеет вопрос о дифракционных потерях. Прежде всего следует отметить, что именно дифракционные потери осуществляют прореживание спектра собственных колебаний при переходе от замкнутой полости к открытому резонатору, исключая в процессе установления резонансной моды колебания, распространяющиеся под сколько-нибудь заметными углами к оси резонатора. Наличием дифракционных потерь открытые оптические резонаторы отличаются от замкнутых объемных резонаторов СВЧ. Конечно, это не единственный источник потерь, а во многих случаях даже не главный. Но в случае идеальных зеркал и идеальной межзеркальной среды потери энергии, обусловленные дифракцией на краях

зеркал с конечной апертурой, остаются принципиально неустранимым, а потому принципиально важным источником потерь.

Очевидно, что в рамках геометрооптического подхода к описанию открытых резонаторов дифракционные потери не могут быть учтены. Геометрическая оптика верна при больших числах Френеля . Естественно ожидать, что этот параметр определяет величину потерь. Грубую оценку можно сделать в предположении плоских волн. По Юнгу дифракцию на краю экрана можно рассматривать как поперечную диффузию амплитуды светового поля в область тени. На расстоянии l от экрана область диффузии достигает размера . Поэтому пучок света, содержащий почти плоскую волну, отраженную, скажем, от левого зеркала радиуса а и достигшую после прохождения пути l правого зеркала того же радиуса а, уширяется по радиусу на . Излучение, попадающее в кольцо площадью выходит из резонатора. Его относительная доля, в предположении однородности распределения амплитуды светового поля по сечению пучка, составляет . При возведении в квадрат эта величина дает оценку дифракционных потерь энергии за один проход

Чем больше число Френеля, тем меньше дифракционные потери. Приведенная оценка, сколько-нибудь разумная только при больших правильно оценивает только тенденцию зависимости дифракционных потерь от . В реальности в модах резонатора распределение поля по поперечному сечешно сильно отличается от однородного, заметно спадая к краям. Поэтому дифракционные потери оказываются существенно меньше предсказываемых формулой (7.20).

Вопрос о дифракционных потерях в открытых резонаторах тесно связан с вопросом о возможности существования устойчивых мод в них. Действительно, дифракционные потери препятствуют возвращению в резонатор полной энергии исходного излучения при каждом акте прохождения излучения между зеркалами и отражения от зеркала. Именно поэтому закономерен вопрос о том, приближается ли распределение поля в резонаторе после многих проходов к стационарному, воспроизводящемуся при каждом дальнейшем проходе состоянию, т. е., штаче говоря, вопрос о том, существует ли в открытом резонаторе колебательная мода. С этим связаны вопросы о числе возможных мод, различиях в конфигурации их полей и их потерях.

Ответ был дан в 1960—1961 гг. в известных работах А. Фокса и Т. Ли, разработавших наглядную картину формирования собственных мод открытого резонатора методом рассмотрения изменений в распределении амплитуды и фазы первоначально плоской волны при ее многократных последовательных проходах через резонатор.

Пусть однороднад плоская волна стартует от левого зеркала, направляясь к правому. По мере распространения некоторая доля энергии из-за дифракции уходит из периферийной области волны еще до того, как она достигнет правого зеркала. При отражении также ослабляется периферийная часть отражаемой волны. Отраженная волна, распространяясь справа налево, теряет энергию аналогичным образом. В результате многократного повторения поле на краях волнового фронта становится слабее.

При вычислениях произвольное начальное распределение поля у левого зеркала служит источником поля, возникающего у правого зеркала в результате первого прохода волны. Затем полученное распределение используется для точно такого же вычисления распределения поля, созданного у левого зеркала в результате второго прохода. Эти вычисления повторяются многократно для последующих проходов.

Для вычисления электромагнитного поля у одного из зеркал в виде интеграла от поля у другого зеркала использована скалярная формулировка принципа Гюйгенса. Это допустимо, если размеры зеркал велики по сравнению с длиной волны, поле близко к поперечному электромагнитному и линейно поляризовано.

Вычисления проводились с помощью ЭВМ., В результате оказалось, что после многих (около 300) отражений действительно устанавливается стационарное распределение поля с уменьшающейся к краю зеркала амплитудой. Величина дифракционных потерь действительно оказалась на несколько порядков меньшей предсказываемой формулой (7.20). В широком интервале значений числа Френеля полученная на ЭВМ кривая дифракционных потерь аппроксимируется функцией

В важном частном случае рассматриваемого в следующей лекции так называемого конфокального резонатора и для основной его моды константы , что, конечно, особенно при больших , приводит к псчезающе малым дифракционным потерям.

Результаты машинного счета подтверждают тот интуитивный вывод, что после многократных проходов распределение поля у зеркал незначительно меняется от отражения к отражению. В стационарной стадии поля около зеркал становятся одинаковыми с точностью до комплексной постоянной. Тогда, выражая поле у одного зеркала через поле у другого зеркала с помощью принципа Гюйгенса в форме Френеля — Кирхгофа, мы получаем интегральное уравнение для искомой функции распределения поля на зеркале.

Действительно, поле в зоне Френеля на одном из зеркал, обусловленное. излучением, отраженным от другого зеркала площади А, дается интегралом по поверхности А:

где — поле на апертуре «излучающего» зеркала, k — постоянная распространения, r — расстояние от точки на «излучающем» зеркале до точки наблюдения, — угол, который вектор r образует с нормалью к плоскости зеркала. После q проходов поле у одного зеркала связано с полем, отраженным другим зеркалом, формулой (7.22), в которой надо заменить на на .

Машинный счет показал разумность предположения о том, что после многочисленных проходов распределение поля зеркал подвергается незначительным изменениям от отражения к отражению и становится стационарным. Тогда поля около зеркал становятся одинаковыми с точностью до комплексной постоянной. Можно записать, таким образом, что

где v — функция распределения, не изменяющаяся от отражения к отражению, a — комплексная постоянная, характеризующая условия распространения излучения между отражениями. Подставляя (7.23) в (7.22), мы получаем интегральное уравнение

ядро которого имеет вид

Собственные функции этого интегрального уравнения являются модами (нормальными колебаниями, собственными колебаниями, нормальными типами колебаний, колебательными модами и т.д.) исследуемого резонатора, определяет затухание и фазовый сдвиг волны в течение каждого прохода, являясь, таким образом, постоянной распространения соответствующих мод.

Анализ Фокса и Ли, выполненный ими для открытых резонаторов типа интерферометра Фабри — Перо в нескольких геометрических конфигурациях (прямоугольные плоские зеркала, круглые плоские зеркала, конфокальные сферические и параболические зеркала), привел к следующим важным выводам:

1. Открытые резонаторы типа интерферометров Фабри — Перо как с плоскими, так и с вогнутыми зеркалами характеризуются дискретным набором колебательных мод.

2. Однородные плоские волны не являются нормальными модами открытых резонаторов

3. Электромагнитные волны, соответствующие собственным модам резонатора, почти полностью поперечны. Поэтому моды обозначаются символом ТЕМ.

4. Моды более высокого порядка всегда имеют более высокие дифракционные потери, чем основная мода.

5. Для основной моды амплитуда поля сильно уменьшается к краям зеркала. Поэтому ее дифракционные потери много меньше

предсказываемых на основе представления об однородных плоских волнах и в реальных ситуациях пренебрежимы.

Результаты Фокса и Ли показали плодотворность анализа полей и волн в открытых резонаторах путем решения интегральных уравнений, связывающих между собой ноля на зеркалах резонатора на основе принципа Гюйгенса в интегральной форме Френеля — Кирхгофа.