Лекция третья. УСИЛЕНИЕ

Поглощение и усиление. Активная среда. Сечение поглощения. Эффект насыщения. Плотность потока энергии насыщающего излучения. Импульсный режим, энергия насыщения.

Равновесная квантовая система поглощает энергию внешнего излучения, т. е. при равновероятности индуцированных переходов сверху вниз (с излучением энергии) и снизу вверх (с поглощением энергии) в расчете на одну частицу общее число переходов с нижних уровней на верхние превосходит число обратных переходов, потому что внизу частиц больше, чем вверху.

Действительно, изменение энергии внешнего поля излучения в единичном объеме квантовой системы определяется разностью энергий, излучаемых и поглощаемых при индивидуальных переходах вниз и вверх. Так как излучаемая мощность равна а поглощаемая , то скорость изменения плотности энергии в соответствии с (1.2), (1.3), (1.10) и (2.20) составляет

что при термодинамическом равновесии в соответствии с распределением Больцмана (1.4) отрицательно. Энергия внешнего поля поглощается. В дальнейшем мы увидим, что при сколько-нибудь заметном поглощении энергии внешнего поля населенности и

изменяются, меняя тем самым скорость поглощения энергии. Однако на настоящем этапе нашего рассмотрения мы будем пренебрегать столь сильным влиянием поля на вещество, имея в виду наличие релаксационных процессов, быстро по сравнению с возвращающих частицы вниз, что и обеспечивает непрерывность процесса поглощения энергии внешнего электромагнитного излучения и перевод этой энергии в тепло.

Итак, при термодинамическом равновесии . Для увеличения энергии излучения необходимо, чтобы выполнялось условие

В отсутствие вырожденпя это означает, что населенность верхнего уровня должна превышать населенность нижнего. При наличии вырождения число частиц, приходящихся на одно невырожденное состояние верхнего уровня, должно превышать населенность каждого невырожденного состояния нижнего уровня.

Таким образом, увеличение плотности энергии поля внешнего излучения происходит в квантовой системе тогда, когда равновесное распределение населенностей так нарушено, что верхние состояния населены сильнее, чем нижние, т. е. когда распределение населенностей инвертировано.

Системы квантовых частиц, в которых хотя бы для двух уровней энергии более высоко расположенный уровень (верхний уровень) населен сильнее нижнего уровня, называются системами с инверсией населенностей. Иногда такую инвертированную систему называют системой с отрицательной температурой. Введение этого термина является формальным следствием применения распределения Больцмана к неравновесным системам с инверсией населенностей. Действительно, из формулы (1.4) для распределения Больцмана видно, что при условие следует автоматически, если считать, что .

Для нас, однако, более важно, что системы с инверсией населенностей являются системами с отрицательным поглощением, т. е. с усилением. Для излучения, распространяющегося в виде бегущей волны в направлении z со скоростью с, коэффициент поглощения а определяется как

где I — интенсивность (плотность мощности) излучения . Так как , то

При этом из (3.1) мы получаем

При выполнении условия коэффициент и, следовательно, усилению соответствует, как и следовало ожидать, отрицательное поглощение.

В силу свойств индуцированного излучения получаемое при инверсии усиление когерентно. При распространении в среде с отрицательным поглощением амплитуда поля нарастает экспоненциально с показателем (инкрементом) усиления, равным , т. е. с показателем

Приведем здесь для справок соотношение между напряженностью электрического поля электромагнитной волны Е и ее интенсивностью I. При линейной поляризации поля волны

при круговой

Итак, для усиления, т. е. для инверсии знака поглощения, необходима инверсия населенностей. Для создания инверсии населенностей необходимо дополнительное внешнее воздействие. Вне зависимости от конкретного механизма инверсии это внешнее воздействие должно преодолевать процессы, направленные на восстановление равновесной разности населенностей. Препятствовать процессам восстановления равновесной разности населенностей можно, только затрачивая энергию — энергию накачки, поступающую от внешнего источника питания.

Совокупность квантовых частиц с инверсией населенностей, т. е. среда с отрицательными потерями энергии распространяющегося в ней излучения, называется в квантовой электронике активной средой.

Рассмотрим несколько подробнее коэффициент поглощения в равновесном случае. Будем по-прежнему иметь в виду двухуровневую систему. В соответствии с распределением Больцмана для двухуровневой системы, находящейся при температуре Т,

где — плотность общего числа частиц на обоих уровнях энергии. В радиодиапазоне, как правило, и

В оптическом диапазоне и

Для справок укажем, что при температуре 300 К равенство наступает на длине волны 48 мкм (которой соответствует частота 6250 ГГц или .

Выражению (3.10) можно придать другую форму. Вспомнив, что перепишем (3.10) в виде

Так как , где — естественное (радиационное, спонтанное) время жизни частицы на верхнем уровне, то

Произведение безразмерно. Следовательно, существует возможность характеризовать поглощающие свойства частицы некоторым эффективным сечением ее взаимодействия с резонансным электромагнитным полем. Это сечение называется сечением поглощения и обозначается буквой а. По определению

Тогда из (3.12) следует (см. также (3.10)), что

Так как всегда превышает сечение поглощения всегда меньше (в оптическом диапазоне, как правило, знанительно меньше). Характерные значения а в зависимости от спектрального диапазона и конкретной квантовой частицы лежат в широком диапазоне .

В предыдущем рассмотрении речь шла о так называемом линейном коэффициенте поглощения или коэффициенте поглощения малого сигнала, когда значение а не зависит от интенсивности сигнала. Независимость коэффициента поглощения а от интенсивности поглощаемого излучения соответствует хорошо известному в оптике закону Бугера — Ламберта — Бера. Этот закон в нашем рассмотрении получен в предположении, что поглощаемое излучение не вызывает отклонений распределения числа частиц по уровням энергии от термодинамически равновесного.

Однако поглощаемое системой частиц излучение обязательно нарушает тепловое равновесие в ней. В случае, когда вероятность переходов под влиянием внешнего поля становится сравнимой с вероятностью релаксационных переходов, равновесное распределение населенностей заметно искажается. При этом относительная доля энергии, поглощаемой системой, уменьшается, коэффициент поглощения. падает, наступает так называемый эффект насыщения. Очевидно, что в пределе, когда интенсивность поля так велика, что вероятность индуцированных переходов превышает вероятность

релаксационных переходов, наступает полное насыщение, при котором разность

(3.15)

При система просветляется; она прозрачна для резонансного излучения — нет ни поглощения, ни усиления, .

В течение многовековой истории оптики закон Бугера — Ламберта — Бера или эквивалентные ему утверждения считались непреложной аксиомой. С. И. Вавилов был первым, кто задолго до появления лазеров высказал и обосновал мысль о возможном уменьшении поглощения при увеличении интенсивности облучения. Нелинейный характер процесса поглощения света большой интенсивности позволил Вавилову ввести термин «нелинейная оптика». Этот термин получил широкое распространение после возникновения лазеров, обусловивших бурное развитие этой новой области физики.

Рассмотрим изменение населенностей в системе двух уровней энергии, происходящее под действием резонансного электромагнитного поля, релаксационных и спонтанных переходов. Мы знаем, что результатом действия любых релаксационных механизмов является обмен энергией между системой рассматриваемых частиц и тепловыми колебаниями, приводящий к тепловому равновесию во всей системе в целом. Как уже отмечалось, именно релаксационные взаимодействия (совместно со спонтанным излучением, когда оно существенно) устанавливают равновесное распределение населенностей и создают условия для продолжения поглощения энергии излучения.

Выпишем теперь так называемые скоростные (кинетические) уравнения для населенностей двух уровней энергии . Прежде всего, существует закон сохранения

Далее, изменение плотности числа частиц на верхнем уровне дается уравнением

Здесь первый член соответствует уходу частиц со второго уровня за счет спонтанного распада (вероятность ) и релаксации (вероятность ), второй член соответствуем релаксационному заселению второго уровня за счет ухода частиц с первого уровня (вероятность ), третий и четвертый члены описывают индуцированные переходы .

Записывая в виде вспоминая, что и подставляя , получаем

где введено обозначение

для эффективного времени релаксации населенностей. В отсутствие внешнего поля, как видно из уравнения (3.18), система релаксирует со временем .

В стационарных условиях

При

Соответственно, равняется

т. е. с точностью до кратности вырождения населенности верхнего и нижнего уровней уравниваются. Происходит полное насыщение. В отсутствие поля излучения (р = 0)

и, соответственно,

Так как равновесные разности населенностей подчиняются распределению Больцмана (1.4), то для вероятностей релаксационных процессов сверху вниз и снизу вверх должно выполняться условие

При одинаковом вырождении уровней энергии релаксационные переходы сверху вниз всегда более вероятны, чем снизу вверх. Для оптических частот, когда вероятность релаксационного перехода наверх очень мала. В радиодиапазоне незначительно меньше, чем (скоростью в радиодиапазоне обычно можно пренебречь).

Вернемся к случаю насыщения. Обычно мы имеем дело не с объемными плотностями энергии р, а с плотностями потока энергии излучения I, или, иначе говоря, с интенсивностью излучения I. Так как , то удобна запись

которая позволяет ввести некоторую эффективную характеристику насыщения

имеющую смысл плотности потока энергии или интенсивности насыщения. Формула (3.14) позволяет связать с сечением резонансного поглощения о:

Далее, в соответствии с (3.5) величина резонансного поглощения (усиления) определяется формулой

Тогда, учитывая, что и, следовательно, , из (3.26) легко получить для z простое соотношение:

где означает соответствующую разность населенностей в отсутствие внешнего поля, т. е. при .

Соотношение (3.30) неоднократно потребуется нам в дальнейшем. Смысл его довольно ясен. С увеличением интенсивности облучения первоначальная разность населенностей падает. Характерный масштаб изменения задается величиной . Когда интенсивность облучения достигает первоначальная разность населенностей падает вдвое. При эффектом насыщения можно пренебречь.

Величина (формула (3.28)) допускает простое физическое истолкование: произведение интенсивности излучения на сечение поглощения, измеренное в единицах , т. е. величина дает при непрерывном облучении значение средней скорости актов индуцированного поглощения. Когда эта скорость, увеличиваясь с ростом I, достигает скорости (при ) релаксационного распада населенности верхнего уровня насыщение становится заметным.

Отметим, что проведенное выше рассмотрение справедливо для однородно уширенной линии поглощения, насыщающейся как целое при увеличении интенсивности облучения. Неоднородное уширение, например доплеровская линия, требует отдельного и гораздо более сложного анализа.

Заметим также, что иногда вместо интенсивности насыщения пользуются обратной величиной

называемой фактором насыщения. Однако интенсивность насыщения имеет более наглядный физический смысл.

Эффект насыщения играет важную роль в квантовой электронике. Насыщение уменьшает коэффициент поглощения неинвертированных резонансных поглощающих систем, приводя их, таким образом, в просветленное состояние, что часто бывает очень полезным. Насыщение снижает коэффициент усиления инвертированных систем, что часто бывает очень нежелательным. Насыщение является той нелинейностью, которая ограничивает интенсивность генерации лазеров. Наконец, в системах со многими уровнями энергии насыщение одного из резонансных переходов может вызвать инверсию населенностей другого перехода. Последнее обстоятельство будет подробно обсущдено позднее.

Порядок величины интенсивности насыщения определяется параметрами рассматриваемого перехода конкретной квантовой частицы. В видимой области спектра при значение составляет .

До сих пор мы рассматривали непрерывный режим. Большое значение в квантовой электронике имеет также и импульсный режим. Импульсным режим можно считать тогда, когда длительность воздействия излучения на квантовую систему мала по сравнению с характерным временем релаксации системы. Точнее говоря, непрерывный режим — это режим работы (генерации, облучения), продолжающийся в течение времени, заметно большего времени релаксации. Все остальное — это импульсный режим. При импульсном воздействии эффект насыщения характеризуется энергией насыщения.

Вернемся к уравнению (3.18). Именно его решение при импульсном характере включения дает соответствующую зависимость . Для простоты будем рассматривать оптический случай: . Кроме того, сразу же введем интенсивность облучения и учтем выражение (3.27) для интенсивности насыщения стационарного режима . В результате получаем простую запись:

где . Решение этого линейного дифференциального уравнения первого порядка известно. При нулевом начальном условии вводя обозначения

можно записать в виде

Далее,

Входящий сюда интеграл , дающий удельную дозу энергии облучения, полученной системой, в нашем случае двух уровней энергии, к моменту времени t, имеет смысл плотности энергии облучения за время t и измеряется в джоулях на квадратный сантиметр, чем отличается от плотности потока энергии (т. е. интенсивности) облучения, измеряемой в ваттах на квадратный сантиметр.

Введем обозначения

где имеет очевидный смысл плотности энергии насыщения. С учетом (3.36) — (3.38) выражение для записывается в виде

Дальнейший анализ требует конкретизации вида Интересуясь короткими импульсами, длительность которых тимп можно при вычислении считать интенсивность облучения в течение импульса постоянной и равной . Тогда имеет смысл плотности энергии импульса, для . В результате

От стационарного случая (3.26) — (3.30) полученное выражение отличается сомножителем в скобках, характеризующим влияние отсутствия эффективной релаксации в течение времени действия импульса облучения. При увеличении энергии импульса наступает эффект насыщения в том смысле, что с ростом дальнейшего роста не происходит просто потому, что все частицы переброшены с уровня 1 на уровень 2, а обратная релаксация за время не происходит.

Сравнение (3.40) и (3.26) показывает, что в импульсном режиме условие полного насыщения

качественно отличается от условия полного насыщения в! непрерывном режиме

Именно эти соображения позволили ввести формулой (3.38) плотность энергии насыщения при импульсном воздействии

Отметим, что при сравнительно сильных сигналах, когда для импульсной интенсивности условие (3.42) уже выполнено, для справедлива простая формула:

Знание позволяет найти и . В условиях справедливости (3.44)

где, как и в случае (3.31), означает соответствующую разность населенностей в отсутствие внешнего поля, т. е. при . Существенное отличие (3.45) от (3.31) объясняется характером насыщения.