Лекция одиннадцатая. СИНХРОНИЗАЦИЯ МОД

Генерация излучения в нескольких продольных модах. Нерегулярный характер спектра генерации. Затягивание мод. Синхронизация мод. Длительность и период следования импульсов при синхронизации мод. Активная и пассивная синхронизация. Самосинхронизация. Модуляция добротности. Провал Лэмба.

В предыдущих лекциях мы установили возможность генерации оптических излучений и рассмотрели свойства необходимых для этого открытых резонаторов. Модовая структура поля в резонаторах определяет модовый состав генерируемого излучения. Наличие многих мод в лазерном излучении приводит к существованию целого ряда интересных эффектов.

Если поперечные моды подавлены, а генерация нескольких продольных мод возможна, то при неоднородном уширении генерационного перехода , превышающем расстояние между модами :

возникает генерация на нескольких частотах, отстоящих друг от друга приблизительно на частоту

называемую частотой межмодовых биений. Генерация происходит вблизи частоты, соответствующей центральной частоте линии генерационного перехода примерно равной частоте продольной моды :

Количество генерируемых мод определяется отношением . При этом предполагается, конечно, что условия самовозбуждения выполнены для всей неоднородно уширенной линии . Так как неоднородное уширение соответствует испусканию (поглощению) излучения в различных спектральных интервалах различными частицами, то при многомодовой генерации условия самовозбуждения независимо выполняются для нескольких (примерно ) независимых генераторов, помещенных, однако, в общий резонатор. Следовательно, суммарный спектр генерации соответствует хаотическому сложению излучений нескольких генераторов и имеет нерегулярный характер. Результирующее поле на выходе лазера может быть представлено в виде

где — номер продольной моды, соответствующей центру линии.

Фаза каждого из N независимых генераторов никаким регулярным образом не связана с фазой какого-либо иного из этих генераторов, что и приводит к хаотическому спектральному распределению. Следует, однако, иметь в виду, что монохроматичность излучения остается достаточно высокой и в этом случае, так как частоты генерации отдельных спектральных компонент не выходят за пределы . Рассмотрим неоднородное уширение, обусловленное эффектом Доплера. В соответствии с формулой (2.30) в видимой области спектра . При характерной для газовых лазеров длине . Следовательно, N достигает значения 5—10. Именно такое количество независимых генераторов работает одновременно, если не приняты меры либо по их синхронизации, либо по подавлению генерации всех генераторов, кроме одного выделенного.

Итак, многомодовость резонатора приводит при достаточно широкой линпи усиления к эффекту нескольких практически эквидистантных частот генерации, соответствующих нескольким независимым генераторам. Второй важный эффект состоит в том, что частоты генерации не точно эквидистантны, не точно отстоят друг от друга на а слегка сдвинуты к центру линии. При выводе формулы (6.33) для частоты генерации обсуждались фазовые условия самовозбуждения, т. е. условия баланса фаз при самовозбуждении. Резонансная линия усиления (поглощения) вносит в резонатор лазера свои дисперсионные свойства. При широкой линии, накрывающей несколько мод, это проявляется следующим образом.

Для мод с частотами, меньшими центральной, аномальная (резонансная) материальная дисперсия уменьшает показатель преломления вещества, оптическая длина падает и, следовательно, резонансные частоты соответствующих мод растут, т. е. сдвигаются к центру линии. С другой стороны, для мод с частотами, большими центральной, аномальная материальная дисперсия увеличивает показатель преломления, оптическая длина растет, резонансные частоты соответствующих мод падают, т. е. сдвигаются к центру линии. Другими словами, для фиксированного значения q при наличии дополнительного изменения показателя преломления условие целого числа полуволн приобретает вид что приводит к соответствующему изменению частоты моды: .

Эффект определяется видом кривой аномальной дисперсии при инверсии населенностей и увеличивается по мере удаления от центра линии. Так как зависимость при возбуждении активной среды, особенно для неоднородно уширенных линий, может быть очень сложной, то могут наблюдаться эффекты расщепления частоты мод, их затягивания к центру линии, отталкивания от центра линии и т. д., приводящие, как правило, к нарушению эквидистантности частот генерации отдельных продольных мод. Эффекты эти невелики, например, для гелий-неонового лазера соответствующие сдвиги частот составляют 20—200 кГц. Существуют, однако, ситуации, в которых эффект затягивания частоты мод должен приниматься во внимание.

Итак, мы видим, что при многомодовой генерации выходное излучение во времени меняется нерегулярным образом, так как не только фазы генерирующих мод случайны, но и генерация в них не возникает одновременно и не происходит с примерно одинаковыми амплитудами. Если, однако, вынудить моды генерировать одновременно с примерно одинаковыми амплитудами и с определенным образом жестко связанными фазами, то произойдет интересное явление.

Из фурье-анализа известно, что периодическая последовательность одинаковых импульсов, повторяющихся с фиксированным периодом Т (рис. 11.1), может быть представлена рядом дискретных

гармонических колебаний:

Рис. 11.1. Периодическая последовательность видеоимпульсов.

Спектральное разложение (11.5) соответствует примыкающему к нулю частот эквидистантному спектру с частотным интервалом между соседними компонентами, равным частоте следования импульсов. Как хорошо известно, общая ширина спектрального разложения обратно пропорциональна длительности одного из импульсов периодической последовательности .

Рис. 11.2. Импульсная огибающая высокочастотного процесса.

В записи (11.5) ширина спектра определяется значением , для которого спектральные амплитуды или еще не слишком малы.

Функция описывает последовательность так называемых видеоимпульсов. Эти импульсы, следуя с периодом обладая длительностью могут быть огибающей некоторого высокочастотного процесса, несущая частота которого (рис. 11.2). Такой высокочастотный импульсно-периодический процесс может быть записан, например, в виде

где А и В — произвольные постоянные. Из (11.6) и (11.5) следует, что частотный спектр процесса состоит из эквидистантной последовательности спектральных компонент с интервалом между соседними компонентами (равным частоте следования импульсов , которая расположена вокруг частоты .

Число компонент (или, что то же самое, суммарная ширина спектра) обратно пропорционально длительности одного импульса .

Таким образом, периодической последовательности коротких импульсов высокочастотных колебаний соответствует сложение большого числа спектрально эквидистантных монохроматических колебаний с жесткими фазовыми соотношениями между ними.

Спектр продольных мод открытого резонатора весьма близок, как мы видели, к эквидистантному. Поэтому лазеры, в линию усиления активного «вещества которых попадает много продольных мод, могут генерировать излучение в виде последовательности коротких импульсов. Для достижения этого необходимо обеспечить одновременное участие в процессе генерации большого числа мод, строгую эквидистантность спектра частот генерируемых мод и жесткую синхронизацию, их фаз. Получаемый при этом режим генерации называется режимом синхронизации мод.

Рис. 11.3. Схема развития синхронизации мод при амплитудной модуляции с частотой межмодовых биений .

Этот режим может быть достигнут периодической модуляцией параметров резонатора лазера. При этом должно модулироваться генерируемое излучение и, следовательно, в его спектре должны возникать дополнительные компоненты, отстроенные от несущей на частоты, кратные частоте модуляции. Если частота модуляции равна частоте межмодовых биений (межмодовому интервалу) (11.2), то боковые частоты спектра каждой из мод совпадут с частотами соседних мод и будут играть друг для друга роль вынуждающей силы. Так как каждая из генерирующих мод, взятая сама по себе, является независимой автоколебательной системой, то под действием вынуждающей силы с частотой, близкой к частоте ее собственных колебаний, происходит ее принудительная синхронизация. Так как синхронизация автоколебательных систем характеризуется некоторой конечной полосой захвата, то небольшое отличие спектра мод от эквидистантного, например из-за эффекта затягивания, роли не играет. Синхронизация принудительно делает моды строго эквидистантными. Общее число синхронизованных мод определяется шириной линии усиления, потерями в резонаторе и его дисперсионными свойствами, неэквидистантностью его мод, глубиной и видом модуляции и т. д.

В простейшем случае амплитудной модуляции можно представить наглядную картину развития синхронизации мод, приведенную на рис. 11.3 и условно показывающую расщепление спектра каждой из мод на компоненты и их последовательный взаимный захват.

Условием жесткой сихронизации является сохранение постоянства разности фаз между синхронизованными колебаниями.

Пусть разность фаз соседних мод равна , разность частот частота центральной моды , а фаза равна нулю. Амплитуды колебаний во всех модах одинаковы и равны . Тогда результирующее поле жестко синхронизованных мод дается суммой

Суммирование (11.7) легко выполняется с помощью тождества и знания суммы

В результате несложных преобразований получаем, что

Следовательно, суммарное поле, возникающее в результате интерференции синхронизованных колебаний, представляет собой периодически модулированное по амплитуде колебание с несущей частотой , равной частоте центральной моды (частоте центра линии усиления), и огибающей

На рис. 11.4 показана огибающая интенсивность для случая синхронизацйи семи мод .

Выражение (11.9) позволяет сделать ряд важных выводов. Прежде всего видно, что пиковые значения огибающей составляют что приводит, как это обычно бывает при интерференции, к -кратному увеличению пиковой интенсивности по сравнению с некогерентным сложением интенсивностёй N независимых

колебаний. Период следования импульсов максимальной интенсивности определяется моментами обращения в нуль знаменателя в (11.9) и составляет

(11.10)

т. е. совпадает с периодом межмодовых биений или, иначе говоря, равен времени полного обхода резонатора излучением. Это означает, что последовательность импульсов, возникающую при синхронизации мод, можно представить как один импульс, распространяющийся в резонаторе между зеркалами попеременно в прямом и обратном направлениях.

Рис. 11.4. Огибающая интенсивности в случае синхронизации семи мод.

Длительность одного импульса в последовательности или, как говорят иначе, одного пичка из цуга импульсов синхронизованных мод (определяемая как интервал времени, в течение которого излучается практически вся энергия, соответствующая одному полному обходу резонатора излучением) дается периодом обращения в нуль числителя в (11.9) и составляет

(11.11)

Так как число синхронизуемых мод не может превышать общее число мод, помещающихся на ширине линии усиления , то минимальная длительность импульса ограничена обратной шириной линии усиления: . Это утверждение является очевидным следствием теоремы Фурье. Характерные длительности таких ультракоротких импульсов лазерного излучения составляют 1 не для типичных газовых лазеров и для лазеров твердотельных.

Соотношения (11.10) и (11.11) являются основными в описании явления синхронизации мод. Существует большое многообразие методов синхронизации. Суть всех из них сводится к периодической модуляции параметров резонатора, с тем чтобы получить спектральные компоненты излучения, сдвинутые по частоте на межмодовый интервал . Синхронизацию мод в случае внешней принудительной модуляции параметров резонатора называют обычно активной синхронизацией. При этом находят применение различные способы амплитудной и фазовой модуляции, модуляции длины резонатора и коэффициента усиления активной среды. В случаях, когда синхронизация осуществляется

с помощью насыщающихся поглотителей (просветляющихся фильтров), помещенных в резонатор лазера, она называется пассивной.

Пассивная синхронизация, теория которой довольно сложна, качественно может быть рассмотрена двумя эквивалентными способами. Пусть внутрь резонатора лазера помещено поглощающее вещество с двумя уровнями энергии и резонансной частотой, равной частоте лазерного излучения. Пусть его линия поглощения однородно уширена и характеризуется сечением поглощения а и временем релаксации трел. Если начальное поглощение внесенного в резонатор фильтра не слишком велико, генерация осуществляется. Поле лазерного излучения вызывает насыщение поглощения фильтра. При генерации на нескольких модах насыщенное поглощение фильтра определяется суммарным полем излучения и в соответствии с формулами (3.29) и (3.30), дающими нелинейную (квадратичную) зависимость поглощения от поля, содержит члены, изменяющиеся с частотой межмодовых биений, если только период этих биений превышает время релаксации . Следовательно, пропускание фильтра модулируется на частоте межмодовых биений, что и приводит к синхронизации мод.

Второе возможное рассмотрение пассивной синхронизации мод основывается на представлении цуга импульсов, следующих с периодом Т, как одного и того же короткого по сравнению с Т импульса, многократно пробегающего расстояние между зеркалами резонатора в прямом и обратном направлениях. Пусть просветляющийся фильтр расположен около одного из зеркал. Случайно возникший и еще не ставший предельно коротким импульс излучения, достигнув поглощающей среды, просветляет ее за счет поглощения энергии, содержащейся в передней части импульса. Укороченный таким образом импульс проходит через просветленный поглотитель, отражается и распространяется в обратном направлении. Если , то при втором подходе к поглотителю импульс взаимодействует снова с уже ненасыщенным фильтром, снова несколько укорачивается и т. д. Следует иметь в виду также усиление импульса при каждом проходе между актами укорочения в поглотителе. Изложенный процесс последовательного укорочения продолжается в идеальной ситуации до тех пор, пока значение не начнет ограничиваться величиной

Таким образом, просветляющийся фильтр при синхронизации мод работает как амплитудный модулятор, автоматически настраивающий частоту модуляции на период межмодовых биений.

Отметим, что случайностный характер процесса установления пассивной синхронизации мод легко обнаруживается при экспериментальной реализации этого метода.

В случаях, когда пассивная синхронизация осуществляется не с помощью специально введенных в резонатор лазера насыщающихся

поглотителей или каких-либо иных нелинейных сред, а вызывается нелинейными свойствами активной среды лазера, для ее описания применяется термин «самосинхронизация». По сути дела различие между самосинхронизацией и пассивной синхронизацией носит условный характер.

В заключение отметим возможность синхронизации поперечных мод, приводящей к периодическому пространственному сканированию в телесном угле, соответствующем направлениям излучения синхронизуемых поперечных мод. Сканирование происходит с частотой межмодовых биений, сканирующий луч имеет угловой размер, соответствующий ширине одной моды.

К методике синхронизации продольных мод близко примыкает техника так называемой модуляции (включения) добротности, приводящая к генерации так называемых гигантских импульсов. По существу отличаясь от синхронизации мод и будучи близкой к ней только некоторыми техническими приемами, методика модуляции добротности возникла как способ управления поведением во времени импульсной генерации твердотельных лазеров, о которых мы будем более подробно говорить позднее. Суть дела здесь сводится к следующему. Пусть свойства активной среды лазера таковы, что в ней реализуется накачка со скоростью . Тогда лазер, по идее, способен излучать непрерывно мощность . За время жизни верхнего лазерного уровня этой мощности соответствует энергия .

Допустим теперь, что накачка осуществляется, а условия для генерации отсутствуют, так как зеркала резонатора каким-то образом выведены из рассмотрения, например перекрыты поглощающим фильтром. Тогда энергия накачки, накапливаясь на верхнем лазерном уровне, не излучается, т. е. этот уровень не опустошается радиационно. Однако ввиду конечности времени жизни уровня на нем не может быть накоплена энергия, большая W. Пусть теперь быстро, практически мгновенно, введены зеркала резонатора, скажем, путем исключения перекрывающих зеркала поглощающих заслонок. Это означает, что произойдет быстрое включение добротности резонатора. Если к моменту включения добротности за счет накопления энергии условия самовозбуждения будущего лазера хорошо перевыполняются, вся эта энергия излучается в одном гигантском импульсе. При длительности импульса излучения тимп оценка пиковой мощности дает значение

(11.12)

За время импульса верхний уровень опустошается. Рис. 11.5 показывает последовательность событий, происходящих при резком включении добротности резонатора в момент .

Применение метода включаемой добротности целесообразно тогда, когда время жизни верхнего лазерного уровня велико. Именно тогда получаются гигантские импульсы излучения.

Прежде чем провести более тщательный, хотя и приближенный, анализ рассматриваемого метода, отметим, что распространенные у нас термины «модулированная добротность», импульс «модулированной добротности», режим «модулированной добротности» возникли при первых реализациях метода включения добротности путем ее периодической модуляции, например вращением одного из зеркал резонатора.

Рассмотрим теперь лазер в режиме включаемой добротности, считая, что включение происходит мгновенно, и пренебрегая релаксацией населенностей и действием накачки за время гигантского импульса.

Рис. 11.5. Включение добротности: а) изменение добротности, б) инверсии, в) мощности излучения (в произв. ед.).

Пусть при включенной добротности время жизни фотона в резонаторе составляет . Напомним, что согласно (7.17) это время жизни простым соотношением связано с добротностью резонатора. Так как дает значение скорости ухода фотонов из резонатора, то скоростное уравнение для числа фотонов Ф может быть записано в виде

где с — скорость света, а - коэффициент усиления активной среды. Вводя обозначение апор для порогового значения коэффициента усиления и вспоминая, что усиление пропорционально инверсии , мы можем переписать уравнение (11.13) в виде

Здесь дает скорость нарастания числа фотонов в резонаторе, скорость убывания числа фотонов в резонаторе. Нарастание превалирует над убыванием при . Так как каждый акт испускания одного фотона уменьшает инверсию на две единицы, то скорость убывания инверсии пропорциональна скорости нарастания числа фотонов, а коэффициент пропорциональности равен 2:

Совместное решение нелинейных уравнений (11.14) и (11.15) легко осуществимо численно. Однако некоторые качественные

выводы можно сделать на основе доступных аналитических решений. Разделив (11.14) на (11.15), мы получаем уравнение

решение которого известно:

(11.17)

где и число фотонов и инверсия соответственно в начальный момент времени, т. е. в момент мгновенного включения добротности. Естественно считать, что тогда

(11.18)

Далее. Мы не знаем решения (11.14), т. е. не знаем . Однако очевидно, что при число фотонов . Инверсия при этом в нуль не обращается, а достигает некоторого установившегося конечного, значения которое может быть найдено при из (11.18) решением трансцендентного уравнения

Уравнение (11.19) можно использовать, в частности, для определения полезно используемой доли запасенной в инверсии энергии:

(11.20)

Из (11.20) виден тот интуитивно ясный вывод, что при большом превышении начальной инверсии над пороговой вся запасенная в инверсии энергия используется для генерации излучения: .

Мощность излучения лазера очевидным соотношением:

(11.21)

связана с числом фотонов в резонаторе лазера Ф и временем жизни фотона . Из (11.21) и (11.18) получаем

(11.22)

где инверсия n зависит от времени: . Если бы мы знали функцию то (11.22) дало бы нам форму импульса излучения. Численные решения уравнений (11.14) и (11.15) показывают, что при больших превышениях начальной инверсии над пороговой время нарастания (передний фронт) импульса оказывается меньшим времени жизни фотона в резонаторе , а время спадания (хвостовая часть) импульса оказывается величиной порядка .

Пиковую мощность гигантского импульса (импульса включаемой или модулированной добротности) можно определить с помощью (11.22). Из условия следует, что максимальное значение мощности излучения в течение генерации гигантского импульса (11.22) достигается, когда . При этом

что при большом превышении начальной инверсии над пороговой дает

(11-24)

Так как начальная инверсия имеет смысл произведения скорости накачки верхнего лазерного уровня на время его жизни , то видно, что оценка (11.12) по существу совпадает с несколько более строго полученной формулой (11.24), правда, в предположении, что длительность гигантского импульса примерно равна времени жизни фотона в резонаторе.

Для осуществления режима включаемой добротности используются оптико-механические и электрооптические затворы, а также затворы на основе просветляющихся фильтров. В последнем случае сечение резонансного поглощения вещества фильтра должно быть много больше сечения резонансного усиления активного вещества: . В противном случае практически вся накопленная веществом энергия будет расходоваться на стационарное просветление фильтра. Кроме того, для обеспечения быстроты включения добротности время релаксации фильтра должно быть много короче времени жизни инверсии: (см. лекцию третью).

В заключение этой лекции обсудим кратко интересный эффект, обусловленный доплеровским уширением линии усиления и наиболее отчетливо проявившийся в одномодовых газовых лазерах. Как мы знаем, излучение взаимодействует только с частицами, находящимися в резонансе с электромагнитной волной, т. е. с частицами, находящимися в пределах однородно уширенной спектральной линии. Поэтому при доплеровском, т. е. неоднородном, уширении доля частиц, взаимодействующих с полем, определяется отношением однородной ширины к доплеровской ширине (см. лекцию вторую). Другими словами, с плоской бегущей волной взаимодействуют только частицы, имеющие резонансную частоту и попадающие внутрь спектрального интервала с однородной шириной :

(11.25)

Здесь k — волновой вектор, a v — скорость частицы.

Преимущественное возбуждение частиц, имеющих определенную скорость движения, приводит к заметному в случае сильного поля изменению их распределения по скоростям. В распределении скоростей частиц на нижнем уровне появляется провал, а на верхнем уровне — соответствующий ему пик. Эти особенности в распределении возникают для скоростей частиц, определяемых частотой поля в соответствии со смыслом эффекта Доплера соотношением

(11.26)

Глубина провала и высота пика определяются величиной насыт щения соответствующего перехода, а их ширина равна однородной ширине с учетом уширения сильным полем.

Рис. 11.6. Провалы, выжигаемые в контуре доплеровски уширенной линии усиления: .

Во многих газовых лазерах однородная ширина линии усиления много меньше доплеровской. Сильная световая волна, вызывающая насыщение усиления, а это, как мы знаем, тот нелинейный эффект, который определяет работу лазера-генератора, выжигает в доплеровском контуре линии усиления провал на частоте поля (провал Беннета). Стоячая световая волна, существующая внутри резонатора лазера, является суперпозицией двух волн одинаковой частоты, бегущих навстречу друг другу. Каждая из этих волн выжигает свой провал. Если одна из бегущих войн выжигает провал для частиц со скоростями (11.26), то бегущая ей навстречу волна той же частоты воздействует на частицы со скоростями

(11.27)

Таким образом, в распределении по скоростям образуются два провала, расположенные симметрично. Им соответствуют два симметричных провала в доплеровском контуре линии (рис. 11.6). При настройке лазера на центр доплеровского контура оба провала совпадают. Это приводит к резкому резонансному падению мощности генерации в центре доплеровской линии усиления. Явление это получило наименование провала Лэмба и используется для стабилизации частоты лазерного излучения.