2.7 БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ

Вводя в начале главы обозначение, мы ловко уклонились от вопроса о бесконечных суммах, в сущности, заявив: „Отложим это на потом. А пока можно считать, что все встречающиеся суммы имеют только конечное число ненулевых членов! Но пришло, наконец, время расплаты — мы обязаны признать тот факт, что

суммы могут быть и бесконечными. И, по правде говоря, бесконечные суммы сопровождаются как приятными, так и неприятными обстоятельствами.

Сперва о неприятном: оказывается, что те методы, которые мы применяли при обращении с суммами, не всегда справедливы для бесконечных сумм. А теперь о приятном: существует обширный просто устроенный класс бесконечных сумм, для которых вполне законны все те операции, что мы выполняли. Причины, кроющиеся за обоими обстоятельствами, станут ясны после того, как мы выясним подлинный смысл суммирования.

Все знают, что такое конечная сумма: мы добавляем к общему итогу все слагаемые, одно за другим, покуда все они не окажутся сложенными. Но бесконечную сумму следует определить более деликатно, чтобы не попасть впросак.

Например, представляется естественным считать, что бесконечная сумма

равна 2, поскольку при ее удвоении получаем

Но тогда, следуя той же логике, надо бы считать сумму

равной —1, ибо при ее удвоении получаем

Происходит нечто странное: как можно получить отрицательное число, суммируя положительные величины? По-видимому, лучше оставить сумму Т неопределенной, а, возможно, нам следует считать, что поскольку слагаемые в Т становятся больше любого фиксированного конечного числа. (Заметим, что величина является другим „решением" уравнения она также „решает" и уравнение

Попробуем дать надлежащее определение величины произвольной суммы где множество К может быть бесконечным. Для начала предположим, что все члены а неотрицательны. В этом случае подходящее определение найти нетрудно: если для любого конечного подмножества существует ограничивающая постоянная А, такая, что

то мы полагаем сумму наименьшей из всех таких А. (Как следует из хорошо известных свойств вещественных чисел, множество всех таких А всегда содержит наименьший элемент.) Но если такой ограничивающей постоянной А не существует, мы считаем, что это означает, что если А —

некоторое вещественное число, то найдется некоторое конечное число членов а, сумма которых превосходит А.

Определение в предыдущем абзаце сформулировано столь деликатно, что оно не зависит ни от какого порядка, который может существовать в индексном множестве К. Поэтому те доводы, которые мы собираемся привести, будут справедливы не только для сумм по множеству целых чисел, но и для кратных сумм со многими индексами

В частности, когда К — множество неотрицательных целых чисел, наше определение для неотрицательных членов а означает, что

И вот почему: любая неубывающая последовательность вещественных чисел имеет предел (возможно, равный Если этот предел равен , некоторое конечное множество неотрицательных целых чисел, все из которых то ; следовательно, либо либо А — ограничивающая постоянная. Но если А — некоторое число, меньшее установленной границы А, то найдется такое что довательно, конечное множество свидетельствует о том факте, что А не является ограничивающей постоянной.

А теперь можно легко вычислить величины конкретных бесконечных сумм в соответствии с только что данным определением. Например, если то

В частности, бесконечные суммы и Т, которые обсуждались минуту назад, равны, соответственно, 2 и — как мы и предполагали. Другой заслуживающий внимания пример:

Теперь рассмотрим тот случай, когда наряду с неотрицательными сумма может содержать отрицательные члены. Какой, к примеру, должна быть величина суммы

Если сгруппировать члены попарно, то получаем:

так что сумма оказывается равной нулю; но если начать группировку по парам шагом позже, то получаем

т. е. сумма равна единице.

Можно было бы также попробовать положить в формуле поскольку мы знаем, что эта формула справедлива при но тогда мы будем вынуждены признать, что данная бесконечная сумма равна ведь это сумма целых чисел!

Другим любопытным примером служит бесконечная в обе стороны сумма в которой при к 0 и при Ее можно записать как

Если мы вычисляем эту сумму, отталкиваясь от „центрального" элемента и двигаясь наружу,

то получаем 1; и мы получим ту же 1, если сдвинем все скобки на один элемент влево,

поскольку сумма всех чисел, заключенных в внутренних скобках, есть

Аналогичное рассуждение показывает, что величина суммы остается равной 1, если эти скобки передвинуть на любое фиксированное число элементов влево или вправо — это укрепляет нас во мнении, что сумма действительно равна 1. Но, с другой стороны, если сгруппировать члены следующим образом:

то пара внутренних скобок будет содержать числа

В гл. 9 будет показано, что следовательно, данный метод группировки приводит к мысли, что бесконечная в обе стороны сумма на самом деле должна равняться

Есть нечто бессмысленное в сумме, которая дает разные значения при сложении ее членов разными способами. В современных руководствах по анализу имеется целый ряд определений, с помощью которых подобным патологическим суммам приписываются осмысленные значения; но если мы позаимствуем эти определения, то не сможем оперировать с -обозначением так же свободно, как делали это до сих пор. Цели этой книги таковы, что нам не нужны рафинированные уточнения понятия „условной сходимости" — мы будем придерживаться такого определения бесконечных сумм, которое оставляет в силе все использованные нами в настоящей главе операции.

В сущности, наше определение бесконечных сумм достаточно просто. Пусть К — некоторое множество, а — вещественнозначный член суммы, определенный при каждом . (На самом деле, может означать несколько индексов так что само множество К может быть многомерным.) Всякое вещественное число х можно представить в виде разности его положительной и отрицательной частей,

(Либо либо Мы уже объясняли, как определять величины бесконечных сумм поскольку неотрицательны. Поэтому наше общее определение таково:

если только обе суммы в правой части не равны . В последнем случае сумма Хлек остается неопределенной.

Пусть Цкекак и Если суммы - конечны, то говорят, что сумма абсолютно сходится к . Если конечна, то говорят, что сумма расходится к Аналогично, если конечна, то говорят, что расходится к Если же то не говорят ничего.

Мы начинали с определения, которое „работало" при неотрицательных членах суммы, а затем распространили его на любые вещественнозначные члены. Если же члены суммы — комплексные числа, то очевидным образом наше определение можно распространить и на этот случай: сумма определяется как - вещественная и мнимая части а при условии, что обе эти суммы существуют. В противном случае сумма Хкек не определена. (См. упр. 18.)

Неприятное, как уже говорилось, заключается в том, что некоторые бесконечные суммы приходится оставлять неопределенными, поскольку операции, которые мы выполняем с ними, могут приводить к несуразностям. (См. упр. 34.) Приятное же заключается в том, что все операции из настоящей главы абсолютно справедливы всякий раз, когда мы имеем дело с суммами, которые абсолютно сходятся в только что установленном смысле.

Мы можем подтвердить это приятное обстоятельство, продемонстрировав, что каждое из наших правил преобразования сумм оставляет величину любой абсолютно сходящейся суммы неизменной. Более определенно, это означает, что следует проверить выполнение распределительного, сочетательного и переместительного законов, плюс правило, согласно которому можно начинать суммировать по любой переменной; все остальное, что мы выполняли в настоящей главе, может быть выведено из этих четырех основных операций с суммами.

Распределительный закон (2.15) можно сформулировать более строго следующим образом: если сумма Хкек а абсолютно сходится к и если с — некоторое комплексное число, то Лкек абсолютно сходится к Это можно доказать, разбивая сумму сначала на вещественную и мнимую, затем на положительную и отрицательную части, как разбивали прежде, и доказывая частный случай, когда и каждый член суммы неотрицателен. Доказательство в этом частном случае проходит в силу того, что для любого конечного множества последний же факт доказывается индукцией по размеру множества

Сочетательный закон (2.16) может быть сформулирован следующим образом: если суммы абсолютно сходятся соответственно к А и В, то сумма абсолютно сходится к Оказывается, что это является частным случаем более общей теоремы, которую мы вскоре докажем.

Переместительный же закон (2.17) в действительности нет нужды доказывать, поскольку при обсуждении формулы (2.35) мы показали, как выводить его в качестве частного случая общего правила изменения порядка суммирования.

Главным для нас остается доказательство основного принципа для кратных сумм: абсолютно сходящиеся суммы с двумя и более индексами всегда можно начинать суммировать по любому из этих индексов. Фактически, мы должны доказать, что если и элементы — некоторые множества индексов, такие, что

то для каждого найдутся комплексные числа такие, что

Это утверждение достаточно доказать для случая, когда все члены суммы неотрицательны, ибо в общем случае все можно разбить на вещественную и мнимую, положительную и отрицательную части, как это делалось прежде. Поэтому предположим, что для всех пар , где М — основное индексное множество

Дано, что сумма конечна, а именно, что

для всех конечных подмножеств что А является наименьшей из таких верхних границ. Если — некоторый элемент множества то каждая сумма вида Лкет, конечное подмножество ограничена сверху числом А. Следовательно, эти конечные суммы имеют наименьшую верхнюю границу , и, по определению,

Еще нам нужно доказать, что А является наименьшей верхней границей множества всех конечных подмножеств Предположим, что -конечное подмножество множества такое, что Мы можем найти конечные подмножества такие, что при каждом для которого По крайней мере одно такое найдется. Но тогда что противоречит тому факту, что для всех конечных подмножеств . Следовательно, для любого конечного подмножества

Наконец, пусть А — некоторое вещественное число, меньшее А. Доказательство будет завершено, если мы сможем найти конечное множество такое, что Известно, что существует конечное множество такое, что пусть будет множеством индексов в этом и пусть

Тогда

Итак, теперь все законно! Все, что мы делали с бесконечными суммами, оправданно постольку, поскольку для любой конечной суммы абсолютных величин ее членов существует конечная граница. Так как бесконечная в обе стороны сумма (2.58) давала нам два разных ответа при вычислении ее двумя разными способами, ее положительные члены должны расходиться к в противном случае нами был бы получен один и тот же ответ, независимо от способа группировки ее членов.