6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ

Следующая в нашей повестке дня важная последовательность чисел носит имя Якоба Бернулли (1654-1705), который, подбирая формулы для сумм степеней натуральных чисел, обнаружил в них любопытные закономерности [22]. Положим

(Таким образом, при в обозначениях для обобщенных гармонических чисел.) Рассматривая следующий ряд формул, Бернулли уловил в них некую закономерность:

А видите ли вы закономерность? В формуле для коэффициент при всегда равен Коэффициент при всегда равен — Коэффициент при всегда давайте-ка посмотрим равен Коэффициент при равен нулю. Коэффициент при всегда равен давайте-ка посмотрим ну да, он равен Коэффициент при всегда равен нулю. А если эту закономерность продолжить, то коэффициент при всегда будет иметь вид некоторой константы, умноженной на

Именно это и обнаружил Бернулли. (Он не оставил доказательства.) В современных обозначениях его формула записывается в виде

Коэффициенты при степенях — числа Бернулли — определяются неявным рекуррентным соотношением

Так, Во Несколько первых этих величин оказываются такими:

(Все надежды на простое выражение в замкнутой форме для рушатся при появлении странной дроби

Формулу Бернулли (6.78) можно доказать индукцией по применяя метод приведения (один из тех способов, с помощью которого мы нашли в гл. 2 сумму

Положим равной правой части (6.78); мы намерены показать, что в предположении, что при Начнем, как мы делали в гл. 2 в случае с вычитания из обеих частей Затем представим каждое в форме (6.78) и перегруппируем члены так, чтобы коэффициенты при степенях в правой части оказались рядом и упростились:

(Подобный вывод представляет собой хорошее упражнение на те стандартные действия, которыми мы овладели в гл. 5.) Таким образом,

В гл. 7, используя производящие функции, мы докажем (6.78) значительно проще. Ключевая идея этого доказательства — показать, что числа Бернулли являются коэффициентами степенного ряда

Давайте пока просто примем на веру справедливость равенства (6.81), с тем, чтобы можно было вывести ряд его поразительных следствий. Если к обеим частям прибавить избавляясь тем самым от члена справа, то получим

Здесь функция — это гиперболический котангенс", по-другому известный из книг по анализу как отношение где

Замена z на дает следовательно, каждый коэффициент с нечетным номером в разложении должен быть равен нулю, и мы получаем

Кроме того, равенство (6.82) приводит к выражению в замкнутой форме для коэффициента разложения

Однако гиперболические функции не пользуются большим спросом — более популярны „действительные" тригонометрические функции. Обычные тригонометрические функции можно выразить

через их гиперболические аналоги, исходя из правил

соответствующие этим функциям степенные ряды выглядят так:

Следовательно, и

Другая замечательная формула для была найдена Эйлером (упр. 73):

А это можно разложить в ряд по степеням получая

Приравнивание коэффициентов при к таким же коэффициентам в другой нашей формуле — формуле (6.87) — делает нас обладателями почти что сверхъестественного выражения в замкнутой форме для бесконечного числа бесконечных сумм:

К примеру,

Формула (6.89) не только представляет собой выражение в замкнутой форме для чисел — помимо этого, она сообщает нам приблизительную величину чисел поскольку весьма близко к 1 при большом . А еще она сообщает нам, что

при любом таким образом, отличные от нуля числа Бернулли являются знакочередующимися.

И это еще не все. Числа Бернулли появляются также в коэффициентах разложения функции тангенса,

и других тригонометрических функций (упр. 72). Формула (6.92) доставляет другой важный факт о числах Бернулли, а именно то, что

Например,

(Числа Т называются тангенциальными числами.)

Один из способов доказательства утверждения (6.93), следуя Б. Ф. Логану, — рассмотреть степенной ряд

где многочлен относительно x. Подстановка дает тангенциальное число. Если продифференцировать (6.94) по х, то получим

а если продифференцировать то получим

Попробуйте, и вы убедитесь, что

А из этой простой рекуррентности следует, что коэффициенты — целые неотрицательные числа. Кроме того, легко доказать, что многочлен имеет степень и что его коэффициенты попеременно то равны нулю, то больше нуля. Поэтому

являются целыми положительными числами, как и утверждалось в (6.93).

Рекуррентность (6.95) обеспечивает нас простым способом вычисления чисел Бернулли через тангенциальные числа, требующим только простых операций над целыми числами; по контрасту с этим определяющая числа Бернулли рекуррентность (6.79) содержит непростые арифметические операции с дробями.

Если мы пожелаем вычислить сумму степеней натуральных чисел от а до не от 0 до то согласно соответствующей теории из гл. 2

А это соотношение имеет интересные следствия, если рассматривать отрицательные значения к. Имеем

следовательно,

Но поскольку получаем соотношение

Поэтому и Если разложить многочлен на множители, то среди них всегда будут множители ибо этот многочлен имеет своими корнями 0 и 1. А вообще, является многочленом m + 1-й степени со старшим членом Более того, можно подставить в (6.97), получая если — четно, то так что еще одним множителем будет Эти наблюдения объясняют, почему в гл. 2 нам удалось найти столь простое разложение

там можно было бы воспользоваться подобным рассуждением для установления величины без ее вычисления! Кроме того, (6.97) означает, что многочлен с остальными множителями, всегда удовлетворяет соотношению

Отсюда следует, что всегда можно записать в форме произведения

Здесь — соответствующие комплексные числа, величины которых зависят от . Например,

где

Если нечетно и больше 1, то следовательно, многочлен делится на (и на ). В противном случае корни многочлена по-видимому, не должны подчиняться какому-нибудь простому правилу.

Завершим изучение чисел Бернулли выяснением того, как они связаны с числами Стирлинга. Один из способов вычисления суммы состоит в замене обычных степеней на убывающие, поскольку убывающие степени просто суммируются. А после вычисления подобных простых сумм можно опять вернуться к обычным степеням:

Поэтому, приравнивая полученные коэффициенты при степенях к соответствующим коэффициентам в (6.78), мы должны получить тождество

Было бы здорово доказать это соотношение непосредственно, получая тем самым другой способ определения чисел Бернулли. Однако ни правила табл. 294, ни правила табл. 295 не дают нам сколько-нибудь явного повода рассчитывать на доказательство по индукции, что сумма слева в (6.99) есть константа, умноженная на Если то сумма слева есть просто так что в этом случае все просто. А если то сумма слева сводится к

Так что и этот случай довольно прост. Но при сумма слева выглядит устрашающе. Вряд ли Бернулли открыл бы свои числа, если бы выбрал этот путь.

Одно можно сделать — заменить на —

Тогда чудно сокращается с мешающим нам знаменателем, и левая часть становится равной

Согласно же (6.31) при вторая сумма равна нулю. Это оставляет нас наедине с первой суммой, которая требует смены декораций: переобозначим все переменные так, чтобы индексом суммирования было к и чтобы остальными параметрами были Тогда тождество (6.99) будет эквивалентно тождеству

Неплохо — мы получили нечто более привлекательное, несмотря на то что табл. 295 по-прежнему не подсказывает ничего дельного насчет следующего шага.

Но теперь на помощь приходят формулы сверток из табл. 302: можно воспользоваться формулами (6.49) и (6.48) для того, чтобы

выразить общий член суммы через многочлены Стирлинга:

Дела принимают хороший оборот: свертка (6.46) для дает

Итак, формула подтверждена, и мы установили, что числа Бернулли связаны с постоянными членами многочленов Стирлинга: