Упражнения

Разминочные упражнения

1 Что означает обозначение

2 Упростите выражение

3 Продемонстрируйте ваше понимание - обозначения, выписав суммы

в развернутом виде, (Осторожно — вторая сумма с подвохом.)

4 Выразите тройную сумму

в виде троекратной суммы (с тремя сигмами): а суммируя вначале по к, потом по а затем по суммируя вначале по потом по а затем по к. Выпишите также ваши троекратные суммы в развернутом виде без обозначения, используя (круглые) скобки, чтобы показать, что складывается вначале.

5 Что неверно в следующей выкладке:

6 Выразите функции и

7 Пусть Что такое

8 Чему равно когда — некоторое целое число?

9 Что представляет собой правило показателей для возрастающих факториальных степеней — аналог правила Воспользуйтесь им для определения

10 В тексте выведена следующая формула для разности произведения:

Как может быть эта формула правильной: ведь ее левая часть симметрична относительно и и а правая — нет?

Обязательные упражнения

11 Общее правило (2.56) суммирования по частям эквивалентно следующему:

Докажите эту формулу непосредственно, используя распределительный, сочетательный и переместительный законы.

12 Покажите, что функция является перестановкой множества всех целых чисел, когда с — целое число.

13 Примените репертуарный метод для нахождения суммы в замкнутой форме.

14 Вычислите сумму переписав ее в виде двукратной суммы

15 Вычислите методом 5 из текста вот как: сперва запишите а затем примените формулу (2.33).

16 Докажите, что если только ни один из знаменателей не равен нулю.

17 Покажите, что следующие формулы могут быть использованы для взаимного обращения возрастающих и убывающих факториальных степеней при всех целых

(Степень определена в ответе к упр. 9.)

18 Пусть — действительная и мнимая части комплексного числа Модуль равен Говорят, что сумма Хкек комплексных членов сходится абсолютно, если сходятся абсолютно обе вещественные суммы Докажите, что Хкек сходится абсолютно тогда и только тогда, когда существует ограничивающая постоянная В, такая, что всех конечных подмножеств .

Домашние задания

19 Подберите суммирующий множитель и решите рекуррентность

20 Попробуйте, вычисляя методом приведения, найти величину

21 Вычислите суммы методом приведения, считая, что

22 Докажите тождество Лагранжа (не прибегая к индукции):

Докажите далее более общее тождество для суммы:

23 Вычислите сумму двумя способами: а заменяя дробь „элементарными дробями" ;

b суммируя по частям.

24 Чему равна сумма Указание: обобщите вывод (2.57).

25 Обозначение Пкек означает произведение чисел а. при всех Предположим для простоты, что лишь для конечного числа к, так что нет необходимости определять бесконечные произведения. Каким законам, аналогичным распределительному, сочетательному и переместительному законам для удовлетворяет подобная [-операция?

26 Выразите двойное произведение Пткп через одинарное произведение манипулируя с П-обозначением. (Это упражнение дает нам произведение элементов верхней треугольной матрицы по аналогии с их суммой

27 Вычислите величину и используйте ее для установления величины суммы

28 В каком месте следующий вывод сбивается с пути истинного?

Контрольные работы

29 Вычислите сумму

30 Игрокам в крибедж издавна известно, что Найдите количество способов представления числа 1050 в виде суммы последовательных положительных целых чисел. (Тривиальное представление в виде самого себя считается одним из таких способов; следовательно, имеются четыре, а не три способа представления числа 15 в виде суммы последовательных положительных целых чисел. Между прочим, в этой задаче не предполагается знания правил игры в крибедж.)

31 Дзета-функция Римана определяется в виде бесконечной суммы

Докажите, что . А чему равна сумма

32 Пусть Докажите, что

при любом вещественном и вычислите эту сумму в замкнутой форме.

Конкурсные задачи

33 Пусть обозначает минимальное из чисел (или их наибольшую нижнюю грань, если К бесконечно), считая, что каждое либо вещественное число, либо Какие законы справедливы для -операции, аналогичные тем, которые имеют место для (См. упр. 25.)

34 Докажите, что если сумма не определена в соответствии с определением (2.59), то она расслаивается в следующем смысле: если любые заданные вещественные числа, то можно найти последовательность конечных подмножеств множества К, такую, что

35 Докажите теорему Гольдбаха

(см. скан)