Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
9.3 ОПЕРАЦИИ С «О»Как и для любого математического формализма, в случае О-обозначений имеются правила оперирования с ними, освобождающие нас от обращения к громоздкому определению. Доказав один раз, с использованием определения, справедливость этих правил, мы можем в дальнейшем подняться на более высокий уровень и забыть о проверке включения одного множества функций в другое. Нам даже не придется вычислять константы С, подразумеваемые каждым О, поскольку мы будем применять правила, гарантирующие существование таких констант. Например, мы можем доказать раз и навсегда, что
Тогда мы сможем сразу сказать, что Вот еще несколько правил, с легкостью получаемых из определений:
В упр. 9 доказывается (9.22); доказательства остальных правил аналогичны. Можно всегда заменять что-либо, имеющее вид одной из левых частей на то, что записано справа, безотносительно к ограничениям на переменную Соотношения (9.27) и (9.23) позволяют доказать тождество
Оба этих варианта предпочтительнее записи А можно ли также писать
Нет! Это некорректно, поскольку множество функций Степенные ряды дают нам одну из самых полезных операций. Если сумма
сходится абсолютно для некоторого комплексного числа
Это очевидно, поскольку
В частности,
и т. д., поскольку
а последняя сумма, как и сама Аналогичным образом можно укорачивать ряды Дирихле, представляющие собой суммы вида
справедливую для С другой стороны, асимптотические формулы для Говорят, что асимптотическая аппроксимация имеет абсолютную погрешность Таблица 491 Асимптотические аппроксимации, справедливые при
аналогичное преобразование рассматривается в упр. 12.) Абсолютная погрешность этой аппроксимации есть Воспользовавшись сокращением степенных рядов, мы можем доказать общие правила
(Здесь мы предполагаем, что
Отсюда следует, что бесконечная сумма
сходится при всех
Задача 1: снова колесо Фортуны Попробуем теперь попытать счастья в некоторых асимптотических задачах. В гл. 3 мы вывели уравнение (3.13) для числа выигрышных позиций в одной игре:
Мы обещали, что асимптотическое значение Основная идея — избавиться от скобок и
это называется „вынести за скобки главную часть! (Мы еще неоднократно воспользуемся этим приемом.) Теперь, из (9.38) и (9.26) имеем
Аналогично,
Отсюда следует, что число выигрышных позиций есть
Обратите внимание, как члены с О поглощают друг друга, пока не останется только одно О; это — типичная ситуация и еще одна иллюстрация полезности символа О внутри формул. Задача 2: метаморфозы формулы Стирлинга Аппроксимация Стирлинга для
для некоторых констант а и
Мы знаем, разумеется, что Попробуем поэтому упростить (9.41). Из первого сомножителя можно вынести главную часть:
Здесь использовано соотношение (9.35). Аналогично имеем
Единственная часть (9.41), преобразование которой требует некоторой изобретательности, - это множитель
(Мы выписываем члены до тех пор, пока не получим относительную погрешность Чтобы раскрыть
Здесь мы вместо Итак, мы привели правую часть (9.41) к виду
Перемножая скобки и включая все асимптотически малые члены в
Н-да-а, мы надеялись прийти к Это рассуждение не доказывает справедливость аппроксимации Стирлинга, но кое-что все-таки доказано, а именно то, что формула (9.40) не может иметь места, если а не равно Задача Соотношение (9.31) есть асимптотическая формула для простое число, мы получаем
при Первый шаг состоит в упрощении члена О. Поделив обе части на
(Имеем Второй шаг — переставить две части (9.42), исключая О. Эта процедура допустима ввиду общего правила:
(Любое из этих соотношений следует из другого, если умножить обе части на —1 и прибавить
и, значит,
Это уравнение — „приближенное рекуррентное соотношение" для Прологарифмировав обе части, получим
Это значение можно подставить вместо Один из подходов к решению состоит в том, чтобы сначала доказать более слабый результат
поскольку и правая часть стремится к нулю при
имея в руках эту оценку, мы можем заключить, что
Это выражение можно подставить в правую часть (9.44), и мы получим
Это и есть приближенная величина Эту оценку можно улучшить, использовав вместо (9.42) более точную аппроксимацию
действуя, как раньше, получим рекуррентное соотношение
имеющее относительную погрешность
Наконец, мы подставляем эти результаты в (9.47) и вот он, ответ:
Если, например, Задача 4: одна сумма из старого итогового экзамена Когда в 1970-71 г. в Станфордском университете началось преподавание конкретной математики, студентам предлагалось найти асимптотическое значение суммы
с относительной погрешностью Конечно же, мы не ударимся в панику. Первой нашей реакцией будет подумать о главном. Если положить
вполне естественно попытаться просуммировать все эти оценки:
Мы как будто приближаемся к результату Если упорно следовать этим путем, то мы в конце концов достигнем цели; однако мы не станем заниматься суммированием остальных столбцов по двум причинам: во-первых, в последнем столбце появляются члены порядка во-вторых, такой лучший метод, и много лучший, действительно есть, причем он находится прямо у нас перед глазами. Действительно, нам известно выражение
Теперь можно вынести главный член и произвести упрощения, как мы делали при анализе аппроксимации Стирлинга. Имеем
После ряда удачных сокращений мы получим
плюс члены вида
Было бы совсем хорошо, если бы мы смогли проверить ответ численно, как это было в предыдущих главах при выводе точных результатов. Асимптотические формулы труднее проверять; в О-члене может скрываться произвольно большая константа, поэтому любая числовая проверка не дает окончательного ответа. Однако на практике у нас нет оснований считать, что нам противостоит противник, специально пытающийся сбить нас с толку, так что можно надеяться, что неизвестная константа в О достаточно мала. С помощью карманного калькулятора вычислим
Если мы сделали ошибку, скажем на в коэффициенте при Задача 5: бесконечная сумма Теперь обратимся к одному вопросу об асимптотике, поставленному Соломоном Голомбом [78]: чему равно приближенное значение
где Первым делом попытаемся снова найти грубую оценку. Число цифр
Поэтому мы ожидаем, что Подобный быстрый анализ полезен для ориентации, однако, чтобы решить задачу, нужна лучшая оценка. Одна из возможных идей — выразить
Так, например, для записи к по основанию Действуя как в задаче 1, мы можем попробовать записать Ключ к решению (как в задаче 4) — применить наше искусство преобразования выражений и, прежде чем переходить к асимптотическим оценкам, привести сумму к более удобному виду. Можно ввести новую переменную суммирования
Это выражение может показаться еще худшим, чем исходная сумма, но в действительности сделан шаг в направлении к цели, поскольку мы располагаем очень хорошей аппроксимацией для гармонических чисел. Однако пока мы придержим ее при себе и попытаемся еще кое-что упростить. Не надо спешить с переходом к асимптотическим оценкам. Суммирование по частям позволяет сгруппировать члены с одинаковыми значениями
Например, Теперь мы готовы подставить выражение для гармонических чисел. Наш опыт оценки
Теперь наша сумма сведется к
Осталось расписать четыре суммы: Начнем, пожалуй, с
и этот ряд сходится при
это как раз та точность, что нам нужна. Совсем просто вычислить
Это телескопический ряд Наконец,
Это есть (Не примени мы раньше суммирование по частям, мы бы непосредственно увидели, что Итак, мы оценили каждую из сумм в (9.53), и теперь можно объединить все и выписать ответ к задаче Голомба:
Заметьте, что это выражение растет медленнее, чем наша исходная прикидочная оценка Задача 6: Ф большое В конце гл. 4 мы нашли, что число
в (4.62) мы показали, что
Попробуем теперь оценить Размышление о главном приводит нас к выводу, что
Этот предварительный анализ показывает, что, вероятно, удобно будет записать
Таким образом, мы убрали функцию пол; остается оценить сумму
Мы доказали в (7.89), что
|
1 |
Оглавление
|