Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯСледующим по важности свойством случайной величины вслед за математическим ожиданием является ее дисперсия, определяемая как средний квадрат отклонения от среднего:
Если обозначить В качестве простого примера вычисления дисперсии предположим, что нам только что сделали предложение, от которого мы не в силах отказаться: некто подарил нам два сертификата для участия в одной лотерее. Устроители лотереи продают каждую неделю по 100 билетов, участвующих в отдельном тираже. В тираже выбирается один их этих билетов посредством равномерного случайного процесса — каждый билет имеет равные шансы быть выбранным — и обладатель этого счастливого билета получает сто миллионов долларов. Остальные 99 владельцев лотерейных билетов не выигрывают ничего. Мы можем использовать подарок двумя способами: купить или два билета в одной лотерее, или по одному для участия в двух разных лотереях. Какая стратегия лучше? Попытаемся провести анализ. Для этого обозначим через
и то же самое справедливо для
независимо от принятой стратегии. Тем не менее, две стратегии выглядят различными. Выйдем за рамки ожидаемых значений и изучим полностью распределение вероятностей
Если мы купим два билета в одной лотерее, то наши шансы не выиграть ничего составят 98% и 2% — шансы на выигрыш 100 миллионов. Если же мы купим билеты на разные тиражи, то цифры будут такими: 98.01% — шанс не выиграть ничего, что несколько больше, чем ранее; 0.01% — шанс выиграть 200 миллионов, также чуть больше, чем было ранее; и шанс выиграть 100 миллионов теперь составляет 1.98%. Таким образом, во втором случае распределение величины Именно это понятие разброса случайной величины призвана отразить дисперсия. Мы измеряем разброс через квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Таким образом, в случае 1 дисперсия составит
в случае 2 дисперсия равна
Как мы и ожидали, последняя величина несколько больше, поскольку распределение в случае 2 несколько более разбросано. Когда мы работаем с дисперсиями, то все возводится в квадрат, так что в результате могут получиться весьма большие числа. (Множитель даже привычных к крупным ставкам игроков.) Для преобразования величин в более осмысленную исходную шкалу часто извлекают квадратный корень из дисперсии. Полученное число называется стандартным отклонением и обычно обозначается греческой буквой а:
Стандартные отклонения величины Каким образом дисперсия помогает в выборе стратегии? Это не ясно. Стратегия с большей дисперсией рискованнее; но что лучше для нашего кошелька — риск или безопасная игра? Пусть у нас есть возможность купить не два билета, а все сто. Тогда мы могли бы гарантировать выигрыш в одной лотерее (и дисперсия была бы нулевой); или же можно было сыграть в сотне разных тиражей, ничего не получая с вероятностью В действительности имеется более простой способ вычисления дисперсии, чем прямое использование определения (8.13). (Есть все основания подозревать здесь какую-то скрытую от глаз математику; иначе с чего бы дисперсия в лотерейных примерах оказалась целым кратным
поскольку
„Дисперсия есть среднее значение квадрата минус квадрат среднего значения" Например, в задаче про лотерею средним значением Есть, однако, еще более простая формула, применимая, когда мы вычисляем
поскольку, как мы знаем, для независимых случайных величин
„Дисперсия суммы независимых случайных величин равняется сумме их дисперсий" Так, например, дисперсия суммы, которую можно выиграть на один лотерейный билет, равняется
Следовательно, дисперсия суммарного выигрыша по двум лотерейным билетам в двух различных (независимых) лотереях составит Дисперсия суммы
для правильного кубика; следовательно,
следовательно, Ну хорошо, мы установили, как вычислить дисперсию. Но мы пока не дали ответа на вопрос, почему надо вычислять именно дисперсию. Все так делают, но почему? Основная причина заключается в неравенстве Чебышева
(Это неравенство отличается от неравенств Чебышёва для сумм, встретившихся нам в гл. 2.) На качественном уровне (8.17) утверждает, что случайная величина X редко принимает значения, далекие от своего среднего тельство необычайно просто. Действительно,
деление на Если мы обозначим математическое ожидание через
Таким образом, X будет лежать в пределах Если бросить пару кубиков
Поэтому из неравенства Чебышёва получаем, что сумма очков будет лежать между
по крайней мере для 99% всех бросаний В общем случае, пусть X — любая случайная величина на вероятностном пространстве П, имеющая конечное математическое ожидание
Если теперь определить случайные величины
то величина
будет суммой
будет лежать в пределах от Иногда нам не известны характеристики вероятностного пространства, но требуется оценить математическое ожидание случайной величины X при помощи повторных наблюдений ее значения. (Например, нам могла бы понадобиться средняя полуденная температура января в Сан-Франциско; или же мы хотим узнать ожидаемую продолжительность жизни, на которой должны основывать свои расчеты страховые агенты.) Если в нашем распоряжении имеются независимые эмпирические наблюдения
Можно оценить и дисперсию, используя формулу
Глядя на эту формулу, можно подумать, что
Вот доказательство:
(В этой выкладке мы опираемся на независимость наблюдений, когда заменяем На практике для оценки результатов эксперимента со случайной величиной X обычно вычисляют эмпирическое среднее
эмпирическое среднее суммы очков
эмпирическая дисперсия равна
Таким образом, из этого эксперимента мы получаем оценку суммы очков для этих кубиков Разберем еще один пример, чтобы показать, как вычислять среднее и дисперсию теоретически, а не эмпирически. Одной из задач, рассматривавшихся в гл. 5, была „задача о футбольной победе"; в ней
вероятности того, что ровно к к болельщикам вернутся их шляпы. Для переформулировки этих результатов с использованием только что изученного формализма рассмотрим вероятностное пространство
отвечает числу правильных „шляпопопаданий“ в задаче о футбольной победе. Уравнение (8.22) дает Вычислить ожидаемое значение, обойдя при этом все сложности гл. 5, оказывается очень легко. Достаточно просто заметить, что
Следовательно,
Однако ожидаемое значение
В среднем одна шляпа попадет на свое место. „Случайная перестановка имеет в среднем одну неподвижную точку? Теперь попытаемся найти стандартное отклонение. Этот вопрос труднее, поскольку величины
(При выводе (2.33) в гл. 2 мы уже использовали подобный трюк.) Далее,
(Проверим для
|
1 |
Оглавление
|