9.5 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА

А теперь, в качестве следующего трюка — и это, на самом деле, последний важный прием в этой книге, - мы обратимся к общему методу аппроксимации сумм, который был впервые

опубликован Леонардом Эйлером [365] в 1732 г. (Идею метода иногда связывают с именем Колина Мак-Лорена, профессора математики в Эдинбурге, открывшего этот метод независимо чуть позднее [211, с. 305].)

Вот основная формула:

Слева находится типичная сумма, оценка которой нам может понадобиться. В правой части — другое выражение для той же суммы, включающее интегралы и производные. Если — достаточно "гладкая“ функция, то она будет иметь производных и эта формула окажется тождеством. Выражение в правой части зачастую оказывается превосходной аппроксимацией суммы в левой части, в том смысле, что остаток мал. Так, например, мы увидим, что аппроксимация Стирлинга для есть следствие формулы суммирования Эйлера; то же самое справедливо для нашей асимптотической аппроксимации для гармонических чисел

Числа в (9.67) — это числа Бернулли, встречавшиеся нам в гл. 6; функция — многочлен Бернулли из гл. 7. Запись обозначает дробную часть, как в гл. 3. Формула суммирования Эйлера сводит все эти понятия вместе.

Вспомним значения нескольких первых чисел Бернулли; всегда удобно иметь этот список неподалеку от общей формулы Эйлера:

Якоб Бернулли открыл эти числа, когда он изучал суммы степеней целых чисел, и формула Эйлера говорит нам, почему так произошло: если мы положим то будем иметь следовательно, и (9.67) сведется к

Так, для получим наш любимый пример подсчета суммы:

(Это — последнее место в книге, где мы выводим эту замечательную формулу.)

Прежде чем доказывать формулу Эйлера, рассмотрим соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу [177]) о том, почему такая формула должна иметь место. В гл. 2 был определен разностный оператор А и объяснено, что оператор — обратный к А, точно так же, как является обратным к оператору дифференцирования Можно выразить А через воспользовавшись формулой Тейлора:

Подстановка дает

Здесь обозначает дифференциальный оператор Поскольку обратный оператор должен выражаться как мы знаем из табл. 386, что степенной ряд, включающий числа Бернулли. Таким образом,

Применив это операторное уравнение к и добавив пределы, получим

a это — в точности формула суммирования Эйлера (9.67) без остаточного члена. (Ни Эйлер и никто другой не рассматривали остаток до тех пор, пока С. Д. Пуассон [248] не опубликовал в 1823 г. важную работу о приближенном интегрировании. Остаточный член играет важную роль, поскольку бесконечная сумма часто оказывается расходящейся. Наш

вывод (9.71) был чисто формальным, мы не касались вопросов сходимости.)

Теперь докажем формулу (9.67), включающую остаточный член. Достаточно провести доказательство только для случая т. е. доказать, что

поскольку затем можно заменить на для любого целого I, получив

Общая формула (9.67) есть просто сумма этих тождеств по диапазону а поскольку промежуточные члены благополучно сокращаются.

Доказательство в случае будем вести индукцией по начиная

(В общем случае многочлен Бернулли определяется уравнением

в частности, ) Иными словами, мы хотели бы доказать, что

Но это есть просто частный случай формулы интегрирования по частям

для Итак, случай оказался несложным.

Чтобы перейти от к и тем завершить индукцию для нам достаточно доказать, что т. е. установить справедливость равенства

Оно приводится к уравнению 1

И снова к этим двум интегралам применимо соотношение (9.73) с , поскольку производная многочлена Бернулли (9.72) есть

(Здесь полезно тождество поглощения Таким образом, требуемая формула будет иметь место в том и только в том случае, когда

Иначе говоря, нам требуется, чтобы

Это может слегка смутить, ясно ведь, что равно а не . Но на самом деле здесь все в порядке, поскольку как мы знаем, есть нуль для нечетных . (Тем не менее, мы чуть было не влипли.)

Для завершения доказательства формулы суммирования Эйлера осталось показать, что что эквивалентно

Но это есть в точности определение чисел Бернулли (6.79), так что доказательство завершено.

Тождество означает, что

а теперь мы заключаем, что этот интеграл равен нулю для Следовательно, в остаточном члене формулы Эйлера

множителем при стоит функция с нулевым средним значением. Это означает, что может оказаться довольно малым.

Посмотрим внимательнее на функции для ведь управляет величиной Здесь приведены графики для первых двенадцати значений

Хотя многочлены от до достаточно малы, в конечном итоге многочлены и числа Бернулли сильно растут. К счастью, содержит компенсирующий множитель помогающий усмирить стихию.

Когда график становиться очень похож на волну синуса; в упр. 58 доказывается, что и на самом деле функция может быть аппроксимирована отрицательным кратным с относительной погрешностью .

В общем случае, функция отрицательна для и положительна для Следовательно, ее интеграл убывает при и возрастает при Более того, имеет место равенство

откуда следует

Постоянное слагаемое обеспечивает нулевое значение интеграла следовательно, Интегралом от будет функция которая, следовательно, положительна для и отрицательна для кроме того, так что обладает всеми свойствами, постулированными для но с противоположным знаком. Следовательно, имеет свойства функции с противоположным знаком. Следовательно, имеет свойства функции и мы завершили цикл, устанавливающий индуктивно сформулированные свойства для всех к.

В соответствии с результатами нашего анализа, максимальное значение должно достигаться либо при либо при упр. 17 доказывается, что

поэтому имеем

Отсюда получается полезная верхняя оценка остаточного члена в формуле суммирования Эйлера, поскольку, как мы знаем из (6.89),

Следовательно, формулу суммирования Эйлера (9.67) можно переписать так:

Если, например, все производные совпадают, и последняя формула говорит нам, что

Разумеется, эта сумма есть сумма геометрической прогрессии, равная

Если для а то интеграл есть просто поэтому

иначе говоря, в этом случае остаточный член ограничен величиной последнего члена (члена непосредственно перед остаточным). Можно дать даже лучшую оценку, если известно, что

Оказывается, что отсюда вытекает соотношение

здесь остаточный член лежит между 0 и первым отброшенным членом в (9.78) — т. е. членом, который мы добавили бы вслед за последним членом в случае увеличения т.

Вот доказательство. Формула суммирования Эйлера справедлива для всех для следовательно, и первый отброшенный член равен

Поэтому нам надо доказать, что лежит между 0 и а это имеет место тогда и только тогда, когда имеют противоположные знаки. Мы утверждаем, что

С учетом (9.79) это доказывает, что имеют противоположные знаки, поэтому доказательство (9.80) на этом завершается.

Доказательство (9.81) оказывается нетрудным, если вспомнить определение и доказанные нами факты о графике Действительно, имеем

причем возрастает ввиду положительности производной (Более точно, не убывает ввиду неотрицательности ее производной.) График выглядит как синусоида, умноженная на поэтому из геометрических соображений ясно, что вторая половина каждой волны синусоиды, будучи умноженной на возрастающую функцию, оказывает большее влияние на интеграл. Это обеспечивает что нам и нужно. Формально этот результат доказывается в упр. 16.