Главная > Конкретная математика. Основание информатики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.3 ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ

Сколько всего простых чисел? Много. На самом деле — бесконечно много. Это давным-давно доказал Евклид в своем предложении 20 книги IX, и вот как. Предположим, что имеется лишь конечное число простых, скажем, к чисел Тогда, говорил Евклид, следует рассмотреть число

Ни одно из к простых чисел не может делить М, ибо каждое из них делит Таким образом, должно иметься некоторое другое простое число, которое делит М, а, возможно, само М — простое число. Это противоречит нашему предположению, что только суть простые числа, так что на самом деле их должно быть бесконечно много.

Евклидово доказательство наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:

Их последовательность начинается с чисел

все из которых простые. Но уже следующее число, есть Оказывается, что простое число, в то время как

Известно, что составные числа, так же как, по всей видимости, и остальные . Однако все числа Евклида являются попарно взаимно простыми, т. е.

Алгоритм Евклида (а как иначе?) подтверждает это за три коротких шага: поскольку при то

Следовательно, если положить равным наименьшему множителю числа при каждом то все простые числа будут различны — они образуют бесконечную последовательность простых чисел.

Теперь ненадолго отвлечемся, чтобы рассмотреть числа Евклида с позиций гл. 1. Можно ли выразить числа в замкнутой форме? Рекуррентность (4.16) можно упростить, избавившись от многоточия. Если то

Таким образом, в примерно вдвое больше десятичных цифр, чем в . В упр. 37 доказывается, что существует постоянная такая, что

А в упр. 60 обосновывается подобная этой формула

которая доставляет только лишь простые числа при некоторой постоянной Р. Но на самом деле формулы типа (4.17) и (4.18) не могут рассматриваться как формулы в замкнутой форме, поскольку постоянные Е и Р вычисляются по тем же самым числам бы заметая проблему под ковер. Не известно (и его существование маловероятно) какое-либо соотношение, которое связывало бы эти числа с другими математически важными постоянными.

И, действительно, никто не знает никакой полезной формулы, которая бы давала сколь угодно большие простые, но только простые числа. Тем не менее, проводя в испытания нового суперкомпьютера специалисты из геологической компании Chevron Geosciences все-таки наткнулись на математический клад. Используя программу, которую разработал Дэвид

Словински, они обнаружили наибольшее из известных на тот момент простых чисел,

На персональном компьютере данное число легко вычислить за несколько миллисекунд, поскольку современные компьютеры работают в двоичной системе, а это число — просто все его битов суть Т. Но много труднее доказать, что оно простое. Практически любая операция с этим числом поглощает уйму времени из-за его слишком больших размеров. Так, даже изощренному алгоритму требуется несколько минут только для преобразований в десятичную форму на . А для того чтобы переслать по почте распечатку этого числа, состоящего из 65050 десятичных цифр, вам потребуется 78 центов.

Между прочим, это число перекладываний, необходимых для решения задачи о ханойской башне, когда имеется дисков. Числа вида

— простое, как и везде в этой главе) называются числами Мерсенна, в честь преподобного Марена Мерсенна, который еще в семнадцатом веке занимался исследованием некоторых свойств подобных чисел [218]. Известные к настоящему времени простые числа Мерсенна получаются при .

Число всегда не простое, если — составное, поскольку имеет одним из сомножителей :

Однако не всегда простое число, если — простое: — наименьшее из таких не простых чисел. (Мерсенн знал это)

В наши дни разложение на множители и испытание на простоту больших чисел — темы оживленных исследований. Сводка того, что было известно об этом вплоть до содержится в разд. 4.5.4 книги [140], а тем временем становятся известными многие новые результаты. На (русского перевода) объясняется специальный метод проверки на простоту чисел Мерсенна.

На протяжении последних пяти столетий наибольшим известным простым числом оказывается, по большей части, простое число Мерсенна, хотя известно всего лишь несколько десятков простых чисел Мерсенна. Многим не дают покоя большие числа, но они поддаются исследованию с трудом. Поэтому тем, кто рассчитывает на действительно заслуженную известность (а не просто на везение) и место в Книге мировых рекордов Гиннесса, вместо

этого можно было бы попытать счастья с числами вида при малых к, скажем, 3 или 5. Эти числа могут быть проверены на простоту почти столь же быстро, сколь и числа Мерсенна (подробности см. в упр. 4.5.4-27 книги [140]).

Но мы еще не полностью ответили на наш первоначальный вопрос относительно того, сколько имеется простых чисел. Их бесконечно много, но дело в том, что одни бесконечные множества „гуще" нежели другие. Так, среди целых положительных чисел бесконечно много четных чисел и бесконечно много полных квадратов, хотя с некоторых не лишенных смысла точек зрения четных чисел больше, чем полных квадратов. Одна из таких точек зрения — сравнить величину: целое четное — это полный квадрат — это так как гораздо меньше при большом то целое четное встречается значительно раньше, чем полный квадрат, так что можно считать, что целых четных чисел много больше, чем полных квадратов. Сходная точка зрения — сравнить число величин, не превосходящих имеется таких целых четных чисел и таких полных квадратов; а поскольку гораздо больше при большом х, то снова можно считать, что целых четных чисел много больше.

Но что же можно сказать о простых числах с этих двух точек зрения? Оказывается, что простое число приблизительно в раз больше натурального логарифма :

(Знак может быть прочитан как „асимптотически равно" — это значит, что предел отношения равен 1, когда стремится к бесконечности.) Подобно этому, для числа — простых чисел, не превосходящих х, мы располагаем фактом, который известен как „теорема о распределении простых чисел":

Доказательство этих двух фактов выходит за рамки нашей книги, хотя легко показать, что один из них влечет за собой другой. В гл. 9 мы обсудим скорости, с которыми возрастают функции, и увидим, что функция — наше приближение числа — лежит между функциями при большом Следовательно, простых чисел меньше, чем целых четных, но больше, чем полных квадратов.

Эти формулы, справедливые только в пределе при или могут быть заменены более точными оценками. Так, Россером и Шенфельдом [263] установлены следующие удачные границы:

Если выбрать „случайное" целое число то его шансы оказаться простым составляют примерно один к Так, если выбирать числа вблизи 1016, то мы должны проверить примерно и 36.8 из них, прежде чем найдем простое число. (Оказывается, что между 1016 — 370 и 1016 — 1 имеется ровно 10 простых чисел.) Тем не менее в распределении простых чисел имеется много нерегулярностей. Так, числа между включительно — абсолютно все составные. Известно много примеров „парных простых чисел" однако никто не знает, бесконечно много или нет пар таких простых чисел. (См. Харди и Райт [335, § 1.4 и §2.8].)

Один из простых способов подсчитать все простых чисел — просеять их через так называемое „решето Эратосфена" Сначала выписываются все целые числа от 2 до х. Затем обводится число 2, т. е. оно выделяется в качестве простого, и вычеркиваются все другие числа, кратные 2. Затем последовательно обводятся наименьшие из необведенных и невычеркнутых чисел и вычеркиваются все кратные им. Когда все окажется обведенным или вычеркнутым, обведенные числа — суть простые. Если, например, то выписываются числа от 2 до 10, обводится число 2 и вычеркиваются кратные ему числа 4, 6, 8 и 10. Затем наименьшим необведенным, невычеркнутым числом оказывается число 3, поэтому оно обводится и вычеркиваются числа 6 и 9. Теперь наименьшим является число 5, так что оно обводится и вычеркивается число 10. В заключение обводится число 7. Обведенные числа суть 2, 3, 5, 7 — вот вам простых числа, не превосходящих 10.

1
Оглавление
email@scask.ru