Главная > Конкретная математика. Основание информатики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Упражнения

Разминочные упражнения

1 Один эксцентричный коллекционер покрытий при помощи домино -прямоугольника платит 4 доллара за каждую вертикально расположенную костяшку и 1 доллар — за горизонтальную. Сколько покрытий будут оценены по этому способу ровно в долларов? Например, для имеем три решения:

2 Выпишите в замкнутой форме производящую функцию и экспоненциальную производящую функцию для последовательности

3 Чему равна

4 Общая теорема о разложении рациональной функции не вполне общая, поскольку степень Р в ней должна быть меньше степени Что произойдет, если степень Р окажется больше?

5 Найдите производящую функцию такую, что

Обязательные упражнения

6 Покажите, что рекуррентное соотношение (7.32) можно решить репертуарным методом, не используя производящих функций.

7 Решите рекуррентное соотношение

8 Вычислите

9 Используйте результат предыдущего упражнения для вычисления

10 Положите в тождестве и затем избавьтесь от всех вхождений с помощью трюков, подобных (5.36). К какому замечательному тождеству вы пришли?

11 Эта задача, состоящая из трех независимых частей, позволяет попрактиковаться в манипуляциях с производящими функциями. Пусть причем все коэффициенты равны нулю для отрицательных

а Выразите С через А и В, если

b Выразите А через В, если

с Выразите А через В, если где вещественное число; затем используйте вашу формулу, чтобы отыскать коэффициенты такие, что

12 Сколько существует способов разместить числа в виде массива размера так, чтобы и строки и столбцы массива были упорядочены по возрастанию слева направо и сверху вниз? Например, для одним из решений будет

13 Докажите обобщенную лемму Рени, сформулированную непосредственно перед (7.70).

14 Используя экспоненциальную производящую функцию, решите рекуррентное соотношение

15 Число Белла есть число способов разбиения предметов на подмножества. Например, поскольку множество можно разбить на такие подмножества:

Докажите, что и используйте это рекуррентное соотношение для нахождения в замкнутом виде экспоненциальной производящей функции

16 Две последовательности связаны между собой формулой свертки

кроме того, Докажите, что соответствующие производящие функции удовлетворяют уравнению .

17 Покажите, что экспоненциальная производящая функция связана с обычной производящей функцией той же последовательности соотношением

если этот интеграл существует.

18 Найдите производящие функции Дирихле для последовательностей

свободно от квадратов].

Выразите ответы в терминах дзета-функции. (Свойство свободы от квадратов определено в упр. 4.13.)

19 Любой степенной ряд определяет последовательность многочленов по правилу

при этом . В общем случае имеет степень Покажите, что эти многочлены удовлетворяют формулам свертки:

(Тождества в табл. 229 и 302 — частные случаи этого приема.)

20 Степенной ряд называется дифференцируемо конечным, если найдутся многочлены (в конечном числе) не все равные нулю и такие, что

Последовательность чисел называется полиномиально рекурсивной, если найдутся многочлены (в конечном числе) не все равные нулю и такие, что

для всех целых Докажите, что производящая функция дифференцируемо конечна тогда и только тогда, когда ее последовательность коэффициентов полиномиально рекурсивна.

Домашние задания

21 Грабитель врывается в банк и требует 500 долларов десяти- и двадцатидолларовыми банкнотами. Он также желает знать, сколькими способами кассир может дать ему эти деньги. Найдите производящую функцию содержащую это число в коэффициенте а также более компактную функцию в которой это число равно Используйте для решения (а) элементарные дроби; метод, аналогичный

22 Пусть Р есть сумма всех возможных способов „триангуляции" многоугольников:

(Первое слагаемое представляет вырожденный многоугольник всего с двумя вершинами; все остальные слагаемые изображают многоугольники, разбитые на треугольники. Пятиугольник, например, можно триангулировать пятью способами.) Определите операцию „умножения" АДВ триангулированных многоугольников А и В так, чтобы было справедливо уравнение

Затем замените каждый треугольник на что вы тогда сможете сказать о числе разбиений -угольника на треугольники?

23 Сколько существует способов построить -колонну из кирпичей размера

24 Сколько имеется остовных деревьев в -колесе (т. е. графе с циклом из „внешних" вершин, каждая из которых соединена с вершиной «осью») при

25 Пусть целое число. Выразите в замкнутом виде, как функцию производящую функцию последовательности Используя эту производящую функцию, выразите в терминах комплексного числа (Например, для будем иметь

26 Числа Фибоначчи второго порядка определяются рекуррентным соотношением

Выразите через обычные числа Фибоначчи

27 Каждое покрытие -прямоугольника костяшками домино можно рассматривать также как некоторый способ нарисовать несоприкасающихся отрезков в массиве точек размера

Если наложить друг на друга две подобные схемы, то мы получим несколько циклов, так как с каждой точкой связаны два отрезка. Если, например, приведенная выше картинка объединяется с

то в результате получится

Такой же набор циклов получается при объединении

Однако мы сможем однозначно восстановить исходные схемы по результату их наложения, если припишем каждому вертикальному отрезку некоторую ориентацию при помощи стрелок. Стрелки расставим поочередно вверх/вниз/вверх/ в первой схеме и поочередно вниз/вверх/вниз/ — во второй. Например,

Число таких ориентированных циклических схем должно быть, следовательно, равно и мы должны уметь доказывать это с помощью алгебры. Пусть будет числом ориентированных циклических схем размера Найдите рекуррентное соотношение для решите его с помощью производящих функций и получите алгебраическое доказательство того, что

28 Коэффициенты в (7.39) удовлетворяют соотношению для Дайте „простое” объяснение этому факту.

29 Чему равна сумма фибоначчиевых произведений

30 Если производящая функция имеет разложение на элементарные дроби то каким будет разложение на элементарные дроби функции

31 Какая функция определенная на положительных целых удовлетворяет рекуррентному соотношению

Здесь — функция Эйлера.

32 Арифметическая прогрессия — это бесконечное множество целых чисел

Множество арифметических прогрессий называется точным покрытием, если всякое неотрицательное целое встречается в одной и только в одной прогрессии. Например, точное покрытие образуют три прогрессии Покажите, что если — точное покрытие, причем то Указание: используйте производящие функции.

Контрольные работы

33 Чему равно

34 Найдите замкнутое выражение для производящей функции если

(Здесь m — фиксированное положительное целое.)

35 Вычислите сумму двумя способами: а Разложите слагаемые в простейшие дроби.

b Представьте сумму как свертку и используйте производящие функции.

36 Пусть - производящая функция для Выразите через .

37 Пусть обозначает число способов записать положительное целое в виде суммы степеней 2, без учета порядка. Например, поскольку Положим, по определению, Обозначим через частичные суммы последовательности а.

а Составьте таблицу чисел до Какое замечательное соотношение можно усмотреть в таблице? (Пока не доказывайте его.) Выразите производящую функцию в виде бесконечного произведения, с Используйте выражение из части для доказательства результата части (а).

38 Найдите замкнутое выражение для двойной производящей функции

Обобщите ваш ответ так, чтобы для фиксированного получить замкнутое выражение для

39 Для заданных положительных целых тип найдите замкнутые выражения для

(Например, для суммы, соответственно, будут Указание: какие коэффициенты при будут в производящих функциях

40 Выразите в замкнутом виде.

41 Возрастающе-убывающей перестановкой порядка называется перестановка чисел которая поочередно возрастает и убывает:

Например, 35142 есть возрастающе-убывающая перестановка порядка 5. Пусть обозначает число возрастающе-убывающих перестановок порядка Покажите, что экспоненциальной производящей функцией будет

42 Космический зонд обнаружил, что органическое вещество на Марсе имеет ДНК, в состав которой входят пять символов, обозначаемых вместо четырех символов в земных ДНК. Четыре пары символов — никогда

не встречаются в марсианских ДНК, однако любая цепочка, не содержащая этих запрещенных пар, возможна. (Запрещена, таким образом, цепочка а вполне возможна.) Сколько цепочек длины может существовать на Марсе? (Для ответ 21, поскольку мы различаем левый и правый концы цепочки.)

43 Производящая функция Ньютона последовательности есть, по определению,

Найдите формулу свертки, которая устанавливает соотношение между последовательностями с производящими функциями Ньютона, удовлетворяющими уравнению Постарайтесь, чтобы ваша формула была возможно более простой и симметричной.

44 Пусть означает число возможных исходов при попарном сравнении чисел Например, поскольку возможны следующие исходы

Найдите выражение в замкнутом виде для Найдите также последовательности такие, что

45 Вычислите

46 Вычислите

в замкнутом виде. Указание:

47 Покажите, что приведенные в (7.34) числа из задачи о покрытии домино -прямоугольника, тесно связаны с дробями в дереве Штерна—Вроко, сходящимися к

48 Некоторая определенная последовательность удовлетворяет соотношению

для каких-то целых чисел Она также имеет замкнутый вид

для какого-то вещественного числа между 0 и 1. Найдите

49 Задача о степенях и четности.

а Рассмотрите последовательность определяемую формулой

Найдите простое рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет эта последовательность,

b Докажите, что для любых целых

с Найдите число вида где положительные целые, такие, что для любых целых

Конкурсные задачи

50 В продолжение упр. 22 рассмотрим сумму всех способов разбиения многоугольников на многоугольники:

Найдите символическое уравнение для и постройте с его помощью производящую функцию для числа способов проведения непересекающихся диагоналей в выпуклом -угольнике. (Дайте выражение в замкнутом виде для производящей функции как функции от не требуется находить замкнутое выражение для коэффициентов.)

51 Докажите, что произведение

является производящей функцией для покрытий домино -прямоугольника. (Входящие в формулу сомножителей можно представлять себе выписанными в клетках прямоугольника. Если нечетно, то средний сомножитель

нулевой. Коэффициентом при является число способов покрытия прямоугольника с помощью вертикальных и к горизонтальных костяшек домино.) Указание: это трудная задача, выходящая за рамки данной книги. Возможно, вы ограничитесь простой проверкой справедливости формулы в случае

52 Докажите, что многочлены, определяемые рекуррентным соотношением

имеют вид целое число для Указание: это упражнение очень поучительно, но не очень просто.

53 Последовательность пятиугольных чисел является очевидным обобщением треугольных и квадратных чисел:

Пусть есть треугольное число; пятиугольное число; и, наконец, пусть означает число покрытий домино -прямоугольника, определенное в (7.38). Докажите, что треугольное число является также пятиугольным числом. Указание:

54 Рассмотрим следующую курьезную конструкцию:

(Начните со строки, содержащей все положительные целые. Затем удалите каждый столбец; здесь Затем замените оставшиеся элементы на их частичные суммы. Затем

удалите каждый столбец. Затем вновь замените элементы на частичные суммы и т. д.) Используя производящие функции, покажите, что в конце концов получится последовательность степеней. Так, для получаем, как здесь показано, последовательность

55 Докажите, что если степенные ряды обладают свойством дифференцируемой конечности (определенным в упр. 20), то тем же свойством обладают

Исследовательские проблемы

56 Докажите, что в некотором широком классе „простых замкнутых выражений" не существует „простого замкнутого выражения" для коэффициента при как функции от

57 Докажите или опровергните: если все коэффициенты ряда равны либо 0, либо 1 и при этом все коэффициенты меньше некоторой константы М, то бесконечно много из коэффициентов равны нулю.

1
Оглавление
email@scask.ru