Упражнения

Разминочные упражнения

1 Один эксцентричный коллекционер покрытий при помощи домино -прямоугольника платит 4 доллара за каждую вертикально расположенную костяшку и 1 доллар — за горизонтальную. Сколько покрытий будут оценены по этому способу ровно в долларов? Например, для имеем три решения:

2 Выпишите в замкнутой форме производящую функцию и экспоненциальную производящую функцию для последовательности

3 Чему равна

4 Общая теорема о разложении рациональной функции не вполне общая, поскольку степень Р в ней должна быть меньше степени Что произойдет, если степень Р окажется больше?

5 Найдите производящую функцию такую, что

Обязательные упражнения

6 Покажите, что рекуррентное соотношение (7.32) можно решить репертуарным методом, не используя производящих функций.

7 Решите рекуррентное соотношение

8 Вычислите

9 Используйте результат предыдущего упражнения для вычисления

10 Положите в тождестве и затем избавьтесь от всех вхождений с помощью трюков, подобных (5.36). К какому замечательному тождеству вы пришли?

11 Эта задача, состоящая из трех независимых частей, позволяет попрактиковаться в манипуляциях с производящими функциями. Пусть причем все коэффициенты равны нулю для отрицательных

а Выразите С через А и В, если

b Выразите А через В, если

с Выразите А через В, если где вещественное число; затем используйте вашу формулу, чтобы отыскать коэффициенты такие, что

12 Сколько существует способов разместить числа в виде массива размера так, чтобы и строки и столбцы массива были упорядочены по возрастанию слева направо и сверху вниз? Например, для одним из решений будет

13 Докажите обобщенную лемму Рени, сформулированную непосредственно перед (7.70).

14 Используя экспоненциальную производящую функцию, решите рекуррентное соотношение

15 Число Белла есть число способов разбиения предметов на подмножества. Например, поскольку множество можно разбить на такие подмножества:

Докажите, что и используйте это рекуррентное соотношение для нахождения в замкнутом виде экспоненциальной производящей функции

16 Две последовательности связаны между собой формулой свертки

кроме того, Докажите, что соответствующие производящие функции удовлетворяют уравнению .

17 Покажите, что экспоненциальная производящая функция связана с обычной производящей функцией той же последовательности соотношением

если этот интеграл существует.

18 Найдите производящие функции Дирихле для последовательностей

свободно от квадратов].

Выразите ответы в терминах дзета-функции. (Свойство свободы от квадратов определено в упр. 4.13.)

19 Любой степенной ряд определяет последовательность многочленов по правилу

при этом . В общем случае имеет степень Покажите, что эти многочлены удовлетворяют формулам свертки:

(Тождества в табл. 229 и 302 — частные случаи этого приема.)

20 Степенной ряд называется дифференцируемо конечным, если найдутся многочлены (в конечном числе) не все равные нулю и такие, что

Последовательность чисел называется полиномиально рекурсивной, если найдутся многочлены (в конечном числе) не все равные нулю и такие, что

для всех целых Докажите, что производящая функция дифференцируемо конечна тогда и только тогда, когда ее последовательность коэффициентов полиномиально рекурсивна.

Домашние задания

21 Грабитель врывается в банк и требует 500 долларов десяти- и двадцатидолларовыми банкнотами. Он также желает знать, сколькими способами кассир может дать ему эти деньги. Найдите производящую функцию содержащую это число в коэффициенте а также более компактную функцию в которой это число равно Используйте для решения (а) элементарные дроби; метод, аналогичный

22 Пусть Р есть сумма всех возможных способов „триангуляции" многоугольников:

(Первое слагаемое представляет вырожденный многоугольник всего с двумя вершинами; все остальные слагаемые изображают многоугольники, разбитые на треугольники. Пятиугольник, например, можно триангулировать пятью способами.) Определите операцию „умножения" АДВ триангулированных многоугольников А и В так, чтобы было справедливо уравнение

Затем замените каждый треугольник на что вы тогда сможете сказать о числе разбиений -угольника на треугольники?

23 Сколько существует способов построить -колонну из кирпичей размера

24 Сколько имеется остовных деревьев в -колесе (т. е. графе с циклом из „внешних" вершин, каждая из которых соединена с вершиной «осью») при

25 Пусть — целое число. Выразите в замкнутом виде, как функцию производящую функцию последовательности Используя эту производящую функцию, выразите в терминах комплексного числа (Например, для будем иметь

26 Числа Фибоначчи второго порядка определяются рекуррентным соотношением

Выразите через обычные числа Фибоначчи

27 Каждое покрытие -прямоугольника костяшками домино можно рассматривать также как некоторый способ нарисовать несоприкасающихся отрезков в массиве точек размера

Если наложить друг на друга две подобные схемы, то мы получим несколько циклов, так как с каждой точкой связаны два отрезка. Если, например, приведенная выше картинка объединяется с

то в результате получится

Такой же набор циклов получается при объединении

Однако мы сможем однозначно восстановить исходные схемы по результату их наложения, если припишем каждому вертикальному отрезку некоторую ориентацию при помощи стрелок. Стрелки расставим поочередно вверх/вниз/вверх/ в первой схеме и поочередно вниз/вверх/вниз/ — во второй. Например,

Число таких ориентированных циклических схем должно быть, следовательно, равно и мы должны уметь доказывать это с помощью алгебры. Пусть будет числом ориентированных циклических схем размера Найдите рекуррентное соотношение для решите его с помощью производящих функций и получите алгебраическое доказательство того, что

28 Коэффициенты в (7.39) удовлетворяют соотношению для Дайте „простое” объяснение этому факту.

29 Чему равна сумма фибоначчиевых произведений

30 Если производящая функция имеет разложение на элементарные дроби то каким будет разложение на элементарные дроби функции

31 Какая функция определенная на положительных целых удовлетворяет рекуррентному соотношению

Здесь — функция Эйлера.

32 Арифметическая прогрессия — это бесконечное множество целых чисел

Множество арифметических прогрессий называется точным покрытием, если всякое неотрицательное целое встречается в одной и только в одной прогрессии. Например, точное покрытие образуют три прогрессии Покажите, что если — точное покрытие, причем то Указание: используйте производящие функции.

Контрольные работы

33 Чему равно

34 Найдите замкнутое выражение для производящей функции если

(Здесь m — фиксированное положительное целое.)

35 Вычислите сумму двумя способами: а Разложите слагаемые в простейшие дроби.

b Представьте сумму как свертку и используйте производящие функции.

36 Пусть - производящая функция для Выразите через .

37 Пусть обозначает число способов записать положительное целое в виде суммы степеней 2, без учета порядка. Например, поскольку Положим, по определению, Обозначим через частичные суммы последовательности а.

а Составьте таблицу чисел до Какое замечательное соотношение можно усмотреть в таблице? (Пока не доказывайте его.) Выразите производящую функцию в виде бесконечного произведения, с Используйте выражение из части для доказательства результата части (а).

38 Найдите замкнутое выражение для двойной производящей функции

Обобщите ваш ответ так, чтобы для фиксированного получить замкнутое выражение для

39 Для заданных положительных целых тип найдите замкнутые выражения для

(Например, для суммы, соответственно, будут Указание: какие коэффициенты при будут в производящих функциях

40 Выразите в замкнутом виде.

41 Возрастающе-убывающей перестановкой порядка называется перестановка чисел которая поочередно возрастает и убывает:

Например, 35142 есть возрастающе-убывающая перестановка порядка 5. Пусть обозначает число возрастающе-убывающих перестановок порядка Покажите, что экспоненциальной производящей функцией будет

42 Космический зонд обнаружил, что органическое вещество на Марсе имеет ДНК, в состав которой входят пять символов, обозначаемых вместо четырех символов в земных ДНК. Четыре пары символов — никогда

не встречаются в марсианских ДНК, однако любая цепочка, не содержащая этих запрещенных пар, возможна. (Запрещена, таким образом, цепочка а вполне возможна.) Сколько цепочек длины может существовать на Марсе? (Для ответ 21, поскольку мы различаем левый и правый концы цепочки.)

43 Производящая функция Ньютона последовательности есть, по определению,

Найдите формулу свертки, которая устанавливает соотношение между последовательностями с производящими функциями Ньютона, удовлетворяющими уравнению Постарайтесь, чтобы ваша формула была возможно более простой и симметричной.

44 Пусть означает число возможных исходов при попарном сравнении чисел Например, поскольку возможны следующие исходы

Найдите выражение в замкнутом виде для Найдите также последовательности такие, что

45 Вычислите

46 Вычислите

в замкнутом виде. Указание:

47 Покажите, что приведенные в (7.34) числа из задачи о покрытии домино -прямоугольника, тесно связаны с дробями в дереве Штерна—Вроко, сходящимися к

48 Некоторая определенная последовательность удовлетворяет соотношению

для каких-то целых чисел Она также имеет замкнутый вид

для какого-то вещественного числа между 0 и 1. Найдите

49 Задача о степенях и четности.

а Рассмотрите последовательность определяемую формулой

Найдите простое рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет эта последовательность,

b Докажите, что для любых целых

с Найдите число вида где положительные целые, такие, что для любых целых

Конкурсные задачи

50 В продолжение упр. 22 рассмотрим сумму всех способов разбиения многоугольников на многоугольники:

Найдите символическое уравнение для и постройте с его помощью производящую функцию для числа способов проведения непересекающихся диагоналей в выпуклом -угольнике. (Дайте выражение в замкнутом виде для производящей функции как функции от не требуется находить замкнутое выражение для коэффициентов.)

51 Докажите, что произведение

является производящей функцией для покрытий домино -прямоугольника. (Входящие в формулу сомножителей можно представлять себе выписанными в клетках прямоугольника. Если нечетно, то средний сомножитель

нулевой. Коэффициентом при является число способов покрытия прямоугольника с помощью вертикальных и к горизонтальных костяшек домино.) Указание: это трудная задача, выходящая за рамки данной книги. Возможно, вы ограничитесь простой проверкой справедливости формулы в случае

52 Докажите, что многочлены, определяемые рекуррентным соотношением

имеют вид — целое число для Указание: это упражнение очень поучительно, но не очень просто.

53 Последовательность пятиугольных чисел является очевидным обобщением треугольных и квадратных чисел:

Пусть есть треугольное число; пятиугольное число; и, наконец, пусть означает число покрытий домино -прямоугольника, определенное в (7.38). Докажите, что треугольное число является также пятиугольным числом. Указание:

54 Рассмотрим следующую курьезную конструкцию:

(Начните со строки, содержащей все положительные целые. Затем удалите каждый столбец; здесь Затем замените оставшиеся элементы на их частичные суммы. Затем

удалите каждый столбец. Затем вновь замените элементы на частичные суммы и т. д.) Используя производящие функции, покажите, что в конце концов получится последовательность степеней. Так, для получаем, как здесь показано, последовательность

55 Докажите, что если степенные ряды обладают свойством дифференцируемой конечности (определенным в упр. 20), то тем же свойством обладают

Исследовательские проблемы

56 Докажите, что в некотором широком классе „простых замкнутых выражений" не существует „простого замкнутого выражения" для коэффициента при как функции от

57 Докажите или опровергните: если все коэффициенты ряда равны либо 0, либо 1 и при этом все коэффициенты меньше некоторой константы М, то бесконечно много из коэффициентов равны нулю.