Упражнения

Разминочные упражнения

1 Чему равно ? Почему это число легко вычислить тому, кто знаком с биномиальными коэффициентами?

2 При каком значении (значениях) к величина максимальна, если — заданное целое положительное число? Обоснуйте ваш ответ.

3 Докажите „свойство шестиугольника!

4 Вычислите обращая (т. е. делая положительным) верхний индекс.

5 Пусть — простое число. Покажите, что при Что следует отсюда относительно биномиальных коэффициентов

6 Подправьте решение задачи 6 в тексте разд. 5.2, правильно применив правило симметрии.

7 Справедлива ли формула (5.34) и при

8 Вычислите

Какова приблизительно величина этой суммы при очень большом Указание: эта сумма есть при некоторой функции

9 Покажите, что обобщенные экспоненциальные ряды из (5.58) подчиняются правилу

где служит сокращением для

10 Покажите, что — является гипергеометрической функцией.

11 Выразите обе функции

через гипергеометрические ряды.

12 Какая из приведенных ниже функций от к является „гипергеометрическим членом" в смысле разд. 5.7? Во всех случаях обоснуйте свой ответ.

, если и Т — гипергеометрические члены, если и Т — гипергеометрические члены, если — гипергеометрический член. если — гипергеометрический член.

Обязательные упражнения

13 Установите связь между суперфакториальной функцией из упр. 4.55, гиперфакториальной функцией и произведением

14 Докажите тождество (5.25), обратив верхний индекс в правиле свертки Вандермонда (5.22). Затем покажите, что еще одно обращение дает тождество (5.26).

15 Чему равна сумма Указание: см. (5.29).

16 Вычислите сумму

при целых неотрицательных с.

17 Установите простую зависимость между

18 Найдите другое выражение, аналогичное (5.35), для произведения

19 Покажите, что обобщенные биномиальные ряды из (5.58) подчиняются правилу

20 Определим „обобщенный инфрагеометрический ряд“ формулой

используя убывающие степени вместо возрастающих в определении (5.76). Объясните, как ряд связан с

21 Покажите, что эйлерово определение факториалов согласуется с обычным определением, установив, что предел в определении (5.83) равен если — целое положительное число.

22 Воспользуйтесь определением (5.83) для доказательства факториальной формулы удвоения:

23 Какова величина

24 Найдите величину воспользовавшись гипергеометрическим рядом.

25 Покажите, что

Установите аналогичную зависимость между гипергеометрическими функциями

26 Из уравнения

выразите функцию как кратное некоторому гипергеометрическому ряду.

27 Докажите, что

28 Докажите тождество Эйлера

применив дважды правило симметрии Пфаффа (5.101).

29 Покажите, что вырожденные гипергеометрические функции удовлетворяют соотношению

30 Какой гипергеометрический ряд удовлетворяет уравнению

31 Покажите, что если - любая функция, „суммируемая в гипергеометрических членах" то сама функция кратна некоторому гипергеометрическому члену. Так, например, если , то существуют константы такие, что кратна (5.115).

32 Найдите величину методом Госпера.

33 Воспользуйтесь методом Госпера для нахождения величины

34 Покажите, что гипергеометрическая частичная сумма всегда может быть представлена в виде предела обычных гипергеометрических функций:

если с — неотрицательное целое (см. (5.115)). Используйте эту идею для вычисления суммы

Домашние задания

35 Запись двусмысленна в отсутствие пояснений. Вычислите это

а как сумму по к, как сумму по

36 Пусть — наибольшая степень простого числа , которая делит если тип — целые неотрицательные числа. Докажите, что к является числом переносов, которые происходят, когда складывается с в системе счисления с основанием . Указание: здесь помогает упр. 4.24.

37 Покажите, что для факториальных степеней справедлив аналог биномиальной теоремы; т. е. докажите справедливость соотношений

при любом целом неотрицательном

38 Покажите, что любое целое неотрицательное число может быть представлено единственным образом в виде где а и с — целые числа, такие, что (Это называется биномиальной системой счисления.)

39 Покажите, что если то

при любом Установите аналогичную формулу для произведения более общего вида (Эти формулы полезны при нахождении представления в простых дробях, например при

40 Выразите сумму

в замкнутой форме.

41 Вычислите к при целом неотрицательном

42 Найдите выражение для и воспользуйтесь им для вычисления суммы в замкнутой форме.

43 Докажите трехчленное биномиальное тождество (5.28). Указание: вначале замените на

44 Воспользуйтесь тождеством (5.32) для того, чтобы выразить двойные суммы

в замкнутой форме при заданных целых

45 Найдите выражение для суммы в замкнутой форме.

46 Вычислите следующую сумму в замкнутой форме, когда — целое положительное число:

Указание: снова прибегните к производящим функциям.

47 Сумма

является многочленом по Покажите, что она не зависит от

48 Соотношение может быть объединено с соотношением что приводит к то представляет собой последнее соотношение в гипергеометрической форме?

49 Воспользуйтесь методом гипергеометрических функций для вычисления

50 Докажите правило симметрии Пфаффа (5.101), сравнивая коэффициенты при в обеих частях данного равенства.

51 Вывод формулы (5.104) показывает, что

В этом упражнении мы увидим, что несущественно отличающиеся предельные переходы приводят к существенно отличающимся ответам для вырожденного гипергеометрического ряда

а Покажите, что используя правило симметрии Пфаффа для доказательства соотношения при любом целом Чему равен

52 Докажите, что если — целое неотрицательное число, то

53 Если в тождестве Гаусса (5.110) положить то левая часть сведется в то время как правая равна Почему это не доказывает, что

54 Объясните, как была получена правая часть соотношения (5-112).

55 Покажите, что если гипергеометрические члены удовлетворяют соотношению при любом

56 Используя метод Госпера, найдите общую формулу для Покажите, что также служит решением.

57 Используя метод Госпера, найдите константу 0, такую, что

суммируема в гипергеометрических членах.

58 Если тип — целые числа, такие, что то положим

Выясните зависимость между а затем решите ваше рекуррентное соотношение, применив суммирующий множитель.

Контрольные работы

59 Выразите в замкнутой форме

при целых положительных тип.

60 Воспользуйтесь приближением Стирлинга (4.23) для вычисления при одновременно больших тип. К чему сводится ваша формула при

61 Докажите, что если — простое число, то

при любых целых неотрицательных тип.

62 Установите величину при условии, что — простое число и что тип — целые положительные числа. Указание: при желании можно воспользоваться следующим обобщением свертки Вандермонда:

63 Выразите в замкнутой форме

при заданном целом

64 Вычислите заданном целом

65 Докажите, что

66 Вычислите „двойную сумму Гарри“

как функцию от т. (Это сумма как по так и по к.)

67 Выразите в замкнутой форме

68 Выразите в замкнутой форме

69 Выразите в замкнутой форме

как функцию тип.

70 Выразите в замкнутой форме

71. Пусть

где — целые неотрицательные числа, и пусть — производящая функция для последовательности

а Выразите производящую функцию через .

b Воспользуйтесь этим приемом для решения задачи 7 из разд. 5.2.

72 Докажите, что если и к — целые числа и то

где — количество единиц в двоичном представлении к.

73 Воспользуйтесь репертуарным методом для решения рекуррентности

Указание: этой рекуррентности удовлетворяют как так и

74 Эта задача связана с нестандартным вариантом" треугольника Паскаля, стороны которого составлены из чисел а не из единиц, хотя числа внутри по-прежнему удовлетворяют формуле сложения:

Если обозначает число в ряду при 1 к , то при

Выразите величину в замкнутой форме.

75 Установите зависимость между функциями

и величинами

76 Решите следующую рекуррентность для к 0:

77 Какова величина

78 Выразите в замкнутой форме

считая, что — целое положительно число.

79 а Чему равен наибольший общий делитель чисел

Указание: рассмотрите сумму всех этих чисел.

b Покажите, что наименьшее общее кратное чисел равно где

80 Докажите, что для любых целых

81 Докажите неравенство

если — целые неотрицательные числа, причем Указание: попробуйте взять производную по х.

Конкурсные задачи

82 Докажите, что треугольник Паскаля при обладает еще более удивительным свойством шестиугольника, чем то, что приводилось в тексте:

К примеру,

83 Докажите поразительное соотношение с пятипараметрической двойной суммой (5.32).

84 Покажите, что вторая пара правил свертки (5.61) вытекает из первой пары (5.60). Указание: продифференцируйте по

85 Докажите, что

(Левая часть является суммой членов.) Указание: на самом деле справедливо гораздо большее.

86 Пусть целые неотрицательные числа, и пусть коэффициент при постоянном члене если множителей произведения

полностью разложены по положительным и отрицательным степеням комплексных переменных а Докажите, что совпадает с левой частью

Докажите, что если — различные комплексные числа, то многочлен

тождественно равен 1. с Умножьте исходное произведение из сомножителей на и установите, что равно

(Данное рекуррентное соотношение определяет мультиномиальные коэффициенты, так что должно совпадать с правой частью

87 Пусть — целое положительное число и Покажите, что

(В частном случае при это сводится к (5.74).)

88 Докажите, что коэффициенты в (5.47) равны

при любом следовательно,

89 Докажите, что соотношение (5.19) обладает бесконечным аналогом

если Продифференцируйте это соотношение раз по -у и выразите в гипергеометрической форме; какое соотношение вы получите?

90 В задаче 1 из разд. 5.2 рассматривается сумма при целых таких, что А какова величина этой суммы, если не являются целыми числами?

91 Докажите тождество Уиппла

показав, что обе его части удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению.

92 Докажите правила произведений Клаузена

Какие тождества получаются, если приравнять коэффициенты при в обеих частях этих формул?

93 Покажите, что при произвольной заданной функции и константе неопределенная сумма

имеет (довольно) простой вид.

94 Найдите при положительном целом

95 Какие условия следует наложить в дополнение к (5.118), чтобы многочлены из (5.117) стали однозначно определены?

96 Докажите, что если алгоритм Госпера не находит решения (5.120) при данном гипергеометрическом члене то и более общее уравнение

где — гипергеометрические члены, также не имеет решения.

97 Найдите все комплексные числа для которых выражение суммируемо в гипергеометрических членах.

98 Какое рекуррентное соотношение дает метод Госпера—Зильбергера для суммы

99 Используйте метод Госпера—Зильбергера, чтобы найти выражение в замкнутом виде для где в предположении, что а — неотрицательное целое.

100 Найдите рекуррентное соотношение для суммы

найдите другую формулу для воспользовавшись этим рекуррентным соотношением.

101 Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворяют суммы

102 Воспользовавшись процедурой Госпера—Зильбергера, обобщите „бесполезное" тождество (5.113): найдите еще какие-нибудь значения для которых

имеет простое выражение в замкнутом виде.

103 Пусть — подходящий член (5.143) Какие степени будут иметь многочлены относительно переменной к, когда процедура Госпера—Зильбергера применяется к (Редкими, исключительными случаями можно пренебречь.)

104 Используйте процедуру Госпера—Зильбергера для проверки замечательного тождества

Объясните, почему не найдена простейшая рекуррентность для этой суммы.

105 Покажите, что если то

106 Докажите удивительное тождество (5.32), положив равным результату деления слагаемого на правую часть и показав затем, что найдутся функции , для которых

107 Докажите, что не является подходящим членом.

108 Покажите, что числа Апери из (-это диагональные элементы числовой матрицы, определяемой как

Докажите, что эта матрица симметрична и

109 Докажите, что числа Апери (5.141) удовлетворяют сравнению

для всех простых и всех целых Исследовательские проблемы

110 При каких справедливо

111 Пусть наименьший нечетный простой множитель среднего биномиального коэффициента (2). Согласно упр. 36 нечетными простыми числами, которые не делят (), являются те, для которых все цифры в представлении по основанию равны или меньше. Машинные эксперименты показали, что при любом за исключением

а Верно ли, что при любом Достигается ли для бесконечно многих

За решение любой из двух частей (а), предлагается вознаграждение долларов.

112 Верно ли, что делится на 4 или 9 при каждом за исключением

113 Если — рациональные функции пики если существует линейный разностный оператор такой, что то следует ли отсюда, что — подходящий член?

114 Пусть — положительное целое; определим последовательность рекуррентным соотношением

Являются ли числа целыми?