Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИМетоды, которые мы применяли к биномиальным коэффициентам, весьма эффективны в тех случаях, когда они работают, но необходимо иметь в виду, что зачастую они оказываются довольно специфичными — это скорее приемы, нежели методы. Занимаясь какой-нибудь задачей, мы часто движемся к решению по многим направлениям, а порой можем обнаружить себя двигающимися по кругу. Биномиальные коэффициенты подобны хамелеонам, с легкостью изменяющим свою внешность. Поэтому естественно задаться вопросом: а нет ли какого-нибудь унифицирующего принципа, который бы систематизировал сразу все многообразие методов суммирования биномиальных коэффициентов. К счастью, ответ положительный. Сей унифицирующий принцип основан на теории определенных бесконечных сумм, называемых гипергеометрическими рядами. Начало изучению гипергеометрических рядов было положено много лет назад Эйлером, Гауссом и Риманом, и до сих пор подобные ряды остаются предметом обширных исследований. Однако гипергеометрическая форма записи выглядит довольно устрашающе — требуется некоторое время, чтобы к ней привыкнуть. Обобщенный гипергеометрический ряд — это степенной ряд относительно z с через возрастающие факториальные степени следующим образом:
Чтобы избежать деления на нуль, ни одно из В стандартных руководствах для обозначения гипергеометрического ряда с Многие важные функции получаются как частные случаи обобщенной гипергеометрической — вот чем так сильны гипергеометрические функции. Так, простейший случай получается при
На самом деле, когда
И вообще, данная функция не изменится, если мы удалим параметр, который входит как в числитель, так и в знаменатель, или же добавим два одинаковых параметра. Следующий простейший случай — это
Это наш старый знакомый — геометрический ряд: функция Важный случай
А если заменить а на —а и z на
Целое отрицательное число в качестве верхнего параметра делает конечным бесконечный ряд, поскольку Важный случай
Функция Специальный случай
Эта функция, имеющая важные применения в технике, была введена Эрнстом Куммером. Некоторых из нас, возможно, беспокоит вопрос, почему до сих пор не обсуждалась сходимость бесконечного ряда (5.76). Дело в том, что сходимостью можно пренебречь, если рассматривать z просто как некий формальный символ. Нетрудно убедиться, что формальные бесконечные суммы вида
Следующим по возрастанию степени сложности является самый знаменитый из всех гипергеометрический ряд. В действительности он был собственно гипергеометрическим рядом примерно до 1870 г., когда все было обобщено на произвольные
Его часто называют гауссовым гипергеометрическим, поскольку многие из его тонких свойств впервые были доказаны Гауссом в докторской диссертации 1812 г. [68], хотя уже Эйлеру [382] и Пфаффу [249] были известны некоторые замечательные свойства этого ряда. Одним из его важных случаев является ряд
Заметим, что До сих пор гипергеометрические ряды фактически ничего нам не дали, кроме повода для упоминания ряда громких имен. Но мы увидели, что несколько весьма различных функций могут рассматриваться как гипергеометрические ряды — вот что будет основным предметом нашего интереса в дальнейшем. Мы увидим, что обширный класс сумм может быть записан в виде гипергеометрического ряда некоторым „каноническим" способом — следовательно, мы будем располагать удобной системой учета фактов о биномиальных коэффициентах. Какие же ряды являются гипергеометрическими? На этот вопрос легко ответить, если рассмотреть отношение последовательных членов ряда
Первый член — это
Это рациональная функция по к, т. е. отношение двух многочленов относительно к. По основной теореме алгебры любая рациональная по к функция может быть разложена на множители над полем комплексных чисел и приведена к подобному виду. Величины а в числителе — противоположны корням одного многочлена, а величины Предположим, например, что бесконечный ряд задан с отношением членов
являющимся рациональной по к функцией. Многочлен в числителе чудно распадается на два множителя
и можно считывать результат: заданный ряд — это
Таким образом, установлен общий метод нахождения гипергеометрического представления некоторой заданной величины Гауссов гипергеометрический ряд может быть записан и в рекурсивной форме
если требуется подчеркнуть важность отношения членов. А теперь попробуем переформулировать гипергеометрически те тождества с биномиальными коэффициентами, которые были выведены ранее в этой главе. К примеру, давайте выясним, как выглядит правило суммирования по диагонали
в гипергеометрической записи. Для этого надо записать данную сумму в виде бесконечного ряда, который начинается с
Формально этот ряд бесконечный, а фактически — конечный, ибо наличие
При этом
Деление обеих частей на
Давайте попробуем еще. В тождестве (5.16),
после замены к на
В сущности, это совпадает с гипергеометрической функцией в левой части (5.82), но с Прежде чем двинуться дальше, следует обсудить вырожденные случаи, поскольку гипергеометрические функции не определены, когда нижний параметр равен нулю или целому отрицательному числу. Тождество, соответствующее правилу суммирования по диагонали, обычно применяется при целых положительных Позднее в этой главе подобные вещи будут рассмотрены более обстоятельно, а пока просто отдадим себе отчет в том, что некоторые знаменатели могут быть „взрывоопасны" Интересно, однако, что самая первая сумма, которую мы пытались выразить гипергеометрически, оказалась вырожденной. Возможно, другим больным местом в выводе (5.82) является то, что мы представляли
И вновь для достижения целочисленных значений необходимо рассматривать предел Однако факториальное представление
(См. упр. 21. Эйлер [363, 364, 102] обнаружил это определение, когда ему было 22 года.) Можно показать, что данный предел существует при любом комплексном z и что он равен нулю только тогда, когда z — целое отрицательное число. Другое употребительное определение:
Этот интеграл существует только тогда, когда вещественная часть больше —1, но можно воспользоваться формулой
чтобы распространить (5.84) на все комплексные z (за исключением целых отрицательных). Еще одно определение следует из приближения Стирлинга для Имеется весьма похожая функция, называемая гамма-функцией, которая связана с обычными факториалами примерно так же, как возрастающие степени связаны с убывающими степенями. В стандартных справочниках факториалы и гамма-функция часто используются совместно, и при необходимости удобно переходить от одних к другим, исходя из следующих формул:
Эти обобщенные факториалы могут быть использованы для определения обобщенных факториальных степеней, когда
Единственная оговорка состоит в том, что необходимо воспользоваться соответствующими пределами, если эти формулы дают
где Вооружившись такими инструментами, как обобщенные факториалы, можно вернуться к нашему намерению выявить гипергеометрическую сущность выведенных ранее тождеств. Биномиальная теорема (5.13), как и следовало ожидать, оказывается ни чем иным, как суммой (5.77). Так что следующее наиболее интересное для испытания соотношение — это свертка Вандермонда (5-27):
Здесь
и больше нет нужды избегать использования в этих выражениях обобщенных факториалов. Всякий раз, когда
помноженное на
Это равенство может быть использовано для определения Перепишем (5.91) в такой форме, которая облегчит нам просмотр таблицы в том случае, если потребуется вычислить некоторую новую сумму. В результате окажется, что
Свертка Вандермонда (5.27) охватывает только тот случай, когда один из верхних параметров, скажем жительным числом, но Гаусс доказал, что (5.92) справедливо и тогда, когда
Оказывается, что все пять соотношений из табл. 195 представляют собой частные случаи свертки Вандермонда — все они охватываются формулой (5.93), если уделить должное внимание вырожденным случаям. Обратите внимание, что (5.82) — это всего лишь частный случай соотношения (5.93) при В задаче 1 из разд. 5.2 спрашивалось о величине суммы
Для этой задачи естественно гипергеометрическое представление, и, немного попрактиковавшись, любой гипергеометр сможет тотчас же выразить данную сумму в виде Точно так же сумма из задачи 2 и из задачи 4 дает функцию Положим, есть — задача 3 уже несколько иная. Она имеет дело с частным случаем суммы общего вида
Нечто новое было получено также в (5.55), когда мы рассматривали коэффициенты функции
Будучи обобщенной на комплексные числа, эта формула называется формулой Куммера:
(Эрнст Куммер [170] получил ее в Интересно сравнить две эти формулы. Заменив с на
при целом положительном Правильный способ вычисления предела в (5.95) заключается в использовании уравнения (5.87), которое связывает факториалы с отрицательным аргументом и гамма-функции с положительным аргументом. Если заменить х на
Поскольку
с помощью методов из гл. 9. Следовательно, согласно (5.86),
как и требовалось. Завершим наш обзор тем, что установим заново все те соотношения, с которыми мы до сих пор имели дело в этой главе, облачив их в гипергеометрические одежды. Сумма с тремя биномиальными коэффициентами из (5.29) может быть записана в виде
Если обобщить это на комплексные числа, то получится так называемая формула Диксона:
Одной из наиболее общих формул из числа встречавшихся нам является сумма (5.28) с тремя биномиальными коэффициентами, которая приводит к тождеству Заальшютца:
Эта формула дает при Трудно давшееся нам соотношение из задачи 8 в разд. 5.2 сводится к
Да-а..., это всего лишь частный случай при с = 1 соотношения Заальшютца (5.97), так что можно было бы сберечь массу усилий, перейдя непосредственно к гипергеометрическому представлению! А как насчет задачи 7? Та сверхтрудная сумма дает формулу
которая представляет собой первый случай, когда нам встретились три нижних параметра. Так что выглядит это довольно ново. Но на самом деле ничего нового здесь нет: если использовать упр. 26, то левая часть может быть заменена на
и вновь получается соотношение Заальшютца. Что Соотношения свертки из табл. 229 не обладают гипергеометрическими эквивалентами, ибо их отношения членов являются рациональными по к функциями только тогда, когда
Первая из данных формул вновь дает решение задачи 7, если заменить величины И, наконец, „неожиданная" сумма (5.20) доставляет неожиданное гипергеометрическое соотношение, которое оказывается весьма поучительным. Рассмотрим это не спеша. Сначала превратим ее в бесконечную сумму:
Отношение членов
Но взгляните на нижний параметр Вот самое время тщательно рассмотреть подобные предельные случаи, как и было обещано ранее, поскольку гипергеометрические функции в точках „вырождения" зачастую могут быть вычислены путем приближения к ним из ближайших „невырожденных" точек. При этом необходимо проявлять осторожность, так как если пределы берутся разными способами, то и результаты могут получиться разные. Вот, к примеру, два предела, которые оказываются совершенно разными, если один из верхних параметров увеличен на
Аналогично, нами определено
Каждый член этого предельного соотношения вполне определен, так как множитель
|
1 |
Оглавление
|