5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Методы, которые мы применяли к биномиальным коэффициентам, весьма эффективны в тех случаях, когда они работают, но необходимо иметь в виду, что зачастую они оказываются довольно специфичными — это скорее приемы, нежели методы. Занимаясь какой-нибудь задачей, мы часто движемся к решению по многим направлениям, а порой можем обнаружить себя двигающимися по кругу. Биномиальные коэффициенты подобны хамелеонам, с легкостью изменяющим свою внешность. Поэтому естественно задаться вопросом: а нет ли какого-нибудь унифицирующего принципа, который бы систематизировал сразу все многообразие методов суммирования биномиальных коэффициентов. К счастью, ответ положительный. Сей унифицирующий принцип основан на теории определенных бесконечных сумм, называемых гипергеометрическими рядами.

Начало изучению гипергеометрических рядов было положено много лет назад Эйлером, Гауссом и Риманом, и до сих пор подобные ряды остаются предметом обширных исследований. Однако гипергеометрическая форма записи выглядит довольно устрашающе — требуется некоторое время, чтобы к ней привыкнуть.

Обобщенный гипергеометрический ряд — это степенной ряд относительно z с параметрами, который выражается

через возрастающие факториальные степени следующим образом:

Чтобы избежать деления на нуль, ни одно из не может быть нулем или целым отрицательным числом. В остальном а и могут быть какими угодно числами. В качестве альтернативы двухстрочной форме записи (5.76) используется также запись поскольку запись в одну строку иногда более удобна из типографских соображений. Величины а называются верхними параметрами — они входят в числитель членов суммы Величины называются нижними параметрами — они входят в их знаменатель. Последняя величина z называется аргументом.

В стандартных руководствах для обозначения гипергеометрического ряда с верхними параметрами и нижними параметрами вместо часто используется Однако дополнительные нижние индексы имеют тенденцию загромождать формулы и отнимать у нас время, поскольку приходится без конца их переписывать. Проще подсчитать количество параметров, так что зачастую нет необходимости в излишней никому не нужной писанине.

Многие важные функции получаются как частные случаи обобщенной гипергеометрической — вот чем так сильны гипергеометрические функции. Так, простейший случай получается при в этом случае параметры вообще отсутствуют, и мы получаем знакомый ряд

На самом деле, когда или равны нулю, эта запись выглядит несколько обескураживающе. Для того чтобы этого избежать, можно ввести дополнительно верхнюю и нижнюю единицы:

И вообще, данная функция не изменится, если мы удалим параметр, который входит как в числитель, так и в знаменатель, или же добавим два одинаковых параметра.

Следующий простейший случай — это но мы заменим параметры на так, чтобы было Этот ряд также оказывается знакомым, ибо

Это наш старый знакомый — геометрический ряд: функция названа гипергеометрической потому, что она включает геометрический ряд в качестве своего весьма частного случая.

Важный случай действительности легко суммируем в замкнутой форме, если использовать (5.56):

А если заменить а на —а и z на то получаем биномиальный ряд

Целое отрицательное число в качестве верхнего параметра делает конечным бесконечный ряд, поскольку всякий раз, когда а - целое.

Важный случай доставляет другой знаменитый ряд, хотя он и не столь известен в литературе по дискретной математике:

Функция называется „модифицированной бесселевой функцией" порядка частности, при получается функция которая интересна своим рядом

Специальный случай носит название „конфлюэнтного" (вырожденного) гипергеометрического ряда и зачастую обозначается буквой М:

Эта функция, имеющая важные применения в технике, была введена Эрнстом Куммером.

Некоторых из нас, возможно, беспокоит вопрос, почему до сих пор не обсуждалась сходимость бесконечного ряда (5.76). Дело в том, что сходимостью можно пренебречь, если рассматривать z просто как некий формальный символ. Нетрудно убедиться, что формальные бесконечные суммы вида образуют поле, если их коэффициенты лежат в некотором поле. Подобные формальные суммы можно складывать, вычитать, умножать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию, не беспокоясь о сходимости: любые соотношения, которые мы выводим, формально справедливы. Так, гипергеометрический ряд

не сходится при любом отличном от нуля z — тем не менее в гл. 7 мы увидим, что этот ряд вполне можно использовать для решения задач. С другой стороны, всякий раз, когда z заменяется определенным числовым значением, у нас должна быть уверенность в том, что данная бесконечная сумма определена надлежащим образом.

Следующим по возрастанию степени сложности является самый знаменитый из всех гипергеометрический ряд. В действительности он был собственно гипергеометрическим рядом примерно до 1870 г., когда все было обобщено на произвольные . Этот же ряд имеет два верхних параметра и один нижний:

Его часто называют гауссовым гипергеометрическим, поскольку многие из его тонких свойств впервые были доказаны Гауссом в докторской диссертации 1812 г. [68], хотя уже Эйлеру [382] и Пфаффу [249] были известны некоторые замечательные свойства этого ряда. Одним из его важных случаев является ряд

Заметим, что представляет собой гипергеометрическую функцию, но сама функция таковой не является, поскольку величина гипергеометрического ряда всегда равна 1 при

До сих пор гипергеометрические ряды фактически ничего нам не дали, кроме повода для упоминания ряда громких имен. Но мы увидели, что несколько весьма различных функций могут рассматриваться как гипергеометрические ряды — вот что будет основным предметом нашего интереса в дальнейшем. Мы увидим, что обширный класс сумм может быть записан в виде гипергеометрического ряда некоторым „каноническим" способом — следовательно, мы будем располагать удобной системой учета фактов о биномиальных коэффициентах.

Какие же ряды являются гипергеометрическими? На этот вопрос легко ответить, если рассмотреть отношение последовательных членов ряда

Первый член — это , а другие члены определяются отношениями

Это рациональная функция по к, т. е. отношение двух многочленов относительно к. По основной теореме алгебры любая рациональная по к функция может быть разложена на множители над полем комплексных чисел и приведена к подобному виду. Величины а в числителе — противоположны корням одного многочлена, а величины в знаменателе — суть противоположные величины к корням другого многочлена. Если только в знаменатель уже не входит отдельный множитель (к то его можно ввести как в числитель, так и в знаменатель. Остается постоянный множитель, который можно обозначить через Таким образом, гипергеометрические ряды — это в точности такие ряды, первым членом которых является 1, а отношение членов является некоторой рациональной функцией от к.

Предположим, например, что бесконечный ряд задан с отношением членов

являющимся рациональной по к функцией. Многочлен в числителе чудно распадается на два множителя , а знаменатель представляет собой произведение Поскольку в знаменателе отсутствует необходимый множитель записываем отношение членов в виде

и можно считывать результат: заданный ряд — это

Таким образом, установлен общий метод нахождения гипергеометрического представления некоторой заданной величины если такое представление возможно. Вначале записывается в виде бесконечного ряда, первый член которого отличен от нуля. Выберем такие обозначения, чтобы это был ряд с Затем вычисляется Если отношение членов не является рациональной функцией, нам не повезло. В противном случае выразим его в виде (5.81), что дает параметры и аргумент такой, что

Гауссов гипергеометрический ряд может быть записан и в рекурсивной форме

если требуется подчеркнуть важность отношения членов.

А теперь попробуем переформулировать гипергеометрически те тождества с биномиальными коэффициентами, которые были выведены ранее в этой главе. К примеру, давайте выясним, как выглядит правило суммирования по диагонали

в гипергеометрической записи. Для этого надо записать данную сумму в виде бесконечного ряда, который начинается с поэтому заменим к на :

Формально этот ряд бесконечный, а фактически — конечный, ибо наличие в знаменателе сделает при (Позднее мы увидим, что определено при любом х и что при целом отрицательном х. А пока махнем рукой на подобные формальности до тех пор, пока не наберемся побольше гипергеометрического опыта.) В данном случае отношение членов имеет вид

При этом Следовательно, интересующее нас правило суммирования эквивалентно гипергеометрическому тождеству

Деление обеих частей на приводит к несколько более простому варианту:

Давайте попробуем еще. В тождестве (5.16),

после замены к на - к отношение членов принимает вид следовательно, (5.16) выражает в замкнутой форме функцию

В сущности, это совпадает с гипергеометрической функцией в левой части (5.82), но с вместо вместо . Поэтому тождество (5.16) могло бы быть выведено из -метрического варианта соотношения (5.9). (Не удивительно, что (5.16) оказалось легко доказать, воспользовавшись (5.9).)

Прежде чем двинуться дальше, следует обсудить вырожденные случаи, поскольку гипергеометрические функции не определены, когда нижний параметр равен нулю или целому отрицательному числу. Тождество, соответствующее правилу суммирования по диагонали, обычно применяется при целых положительных — но тогда есть целое отрицательное число и гипергеометрический ряд (5.76) не определен. Как тогда можно считать законным тождество (5.82)? Ответ в том, что мы можем перейти к пределу при

Позднее в этой главе подобные вещи будут рассмотрены более обстоятельно, а пока просто отдадим себе отчет в том, что некоторые знаменатели могут быть „взрывоопасны" Интересно, однако, что самая первая сумма, которую мы пытались выразить гипергеометрически, оказалась вырожденной.

Возможно, другим больным местом в выводе (5.82) является то, что мы представляли в виде Подобное представление не проходит при целом отрицательном поскольку должно быть равным если следовать правилу

И вновь для достижения целочисленных значений необходимо рассматривать предел при

Однако факториальное представление определено только для целого . Если же мы хотим эффективно работать с гипергеометрическими представлениями, то необходима такая факториальная функция, которая была бы определена при всех комплексных числах. К счастью, такая функция имеется и может быть определена несколькими способами. Вот одно из наиболее подходящих определений точнее, определение

(См. упр. 21. Эйлер [363, 364, 102] обнаружил это определение, когда ему было 22 года.) Можно показать, что данный предел существует при любом комплексном z и что он равен нулю только тогда, когда z — целое отрицательное число. Другое употребительное определение:

Этот интеграл существует только тогда, когда вещественная часть больше —1, но можно воспользоваться формулой

чтобы распространить (5.84) на все комплексные z (за исключением целых отрицательных). Еще одно определение следует из приближения Стирлинга для из (5.47). Все эти подходы приводят к одной и той же обобщенной факториальной функции.

Имеется весьма похожая функция, называемая гамма-функцией, которая связана с обычными факториалами примерно так же, как возрастающие степени связаны с убывающими степенями. В стандартных справочниках факториалы и гамма-функция часто используются совместно, и при необходимости удобно переходить от одних к другим, исходя из следующих формул:

Эти обобщенные факториалы могут быть использованы для определения обобщенных факториальных степеней, когда — произвольные комплексные числа:

Единственная оговорка состоит в том, что необходимо воспользоваться соответствующими пределами, если эти формулы дают (Данные формулы никогда не дают поскольку факториалы и гамма-функции никогда не обращаются в нуль.) Биномиальный коэффициент можно представить в виде

где — какие угодно комплексные числа.

Вооружившись такими инструментами, как обобщенные факториалы, можно вернуться к нашему намерению выявить гипергеометрическую сущность выведенных ранее тождеств. Биномиальная теорема (5.13), как и следовало ожидать, оказывается ни

чем иным, как суммой (5.77). Так что следующее наиболее интересное для испытания соотношение — это свертка Вандермонда (5-27):

Здесь член —

и больше нет нужды избегать использования в этих выражениях обобщенных факториалов. Всякий раз, когда содержит множитель типа со знаком плюс перед к, то в соответствии с (5.85) в отношении мы получаем (а это дает в соответствующем гипергеометрическом представлении — в качестве верхнего параметра, если был в числителе или же в качестве нижнего параметра в противном случае. Аналогично, множитель типа приводит к ; это дает в другой совокупности параметров (с измененными ролями верхнего и нижнего параметров) и меняет знак аргумента гипергеометрической функции. Множители типа которые не зависят от к, появляются в но исчезают из отношений. Используя такие уловки, можно без дальнейших вычислений предсказать, что отношением членов В (5-27) будет

помноженное на и правило свертки Вандермонда приобретает вид

Это равенство может быть использовано для определения в общем случае, когда — целое отрицательное число.

Перепишем (5.91) в такой форме, которая облегчит нам просмотр таблицы в том случае, если потребуется вычислить некоторую новую сумму. В результате окажется, что

Свертка Вандермонда (5.27) охватывает только тот случай, когда один из верхних параметров, скажем является целым неположительным

жительным числом, но Гаусс доказал, что (5.92) справедливо и тогда, когда — комплексные числа, вещественные части которых удовлетворяют неравенству . В остальных случаях бесконечный ряд не сходится. Если то это соотношение может быть переписано в более удобном виде — с факториалами вместо гамма-функций:

Оказывается, что все пять соотношений из табл. 195 представляют собой частные случаи свертки Вандермонда — все они охватываются формулой (5.93), если уделить должное внимание вырожденным случаям.

Обратите внимание, что (5.82) — это всего лишь частный случай соотношения (5.93) при Поэтому на самом деле нет необходимости запоминать соотношение (5.82); более того, нам совсем не нужно тождество (5.9), которое привело нас к (5.82), несмотря на то, что в табл. 199 его предлагалось запомнить. Машинная программа для формульных преобразований, столкнувшись с задачей вычисления суммы могла бы преобразовать данную сумму в гипергеометрическую форму и подставить в общее выражение для свертки Вандермонда.

В задаче 1 из разд. 5.2 спрашивалось о величине суммы

Для этой задачи естественно гипергеометрическое представление, и, немного попрактиковавшись, любой гипергеометр сможет тотчас же выразить данную сумму в виде Ну да, та задача была еще одним жалким подражанием Вандермонду!

Точно так же сумма из задачи 2 и из задачи 4 дает функцию (Сначала нужно заменить к на к + 1.) А „трудная" сумма из задачи оказывается всего лишь функцией ; 1). Так что же, помимо скрытых версий всесильной свертки Вандермонда и суммировать больше нечего?

Положим, есть — задача 3 уже несколько иная. Она имеет дело с частным случаем суммы общего вида рассмотренной в (5.74), и приводит к выражению в замкнутой форме для

Нечто новое было получено также в (5.55), когда мы рассматривали коэффициенты функции

Будучи обобщенной на комплексные числа, эта формула называется формулой Куммера:

(Эрнст Куммер [170] получил ее в

Интересно сравнить две эти формулы. Заменив с на выясняем, что данные результаты согласуются тогда и только тогда, когда

при целом положительном Так, предположим, что тогда должно быть Нам известно, что равны но мы могли бы предпочесть проигнорировать это затруднение и сделать вид, что так что два этих сократятся. Однако таким соблазнам нельзя поддаваться, поскольку они приводят к неправильному решению! Согласно (5.95), пределом при является не

Правильный способ вычисления предела в (5.95) заключается в использовании уравнения (5.87), которое связывает факториалы с отрицательным аргументом и гамма-функции с положительным аргументом. Если заменить х на — ей положить , то применение формулы (5.87) дважды дает

Поскольку то полученное отношение синусов приводится к виду

с помощью методов из гл. 9. Следовательно, согласно (5.86),

как и требовалось.

Завершим наш обзор тем, что установим заново все те соотношения, с которыми мы до сих пор имели дело в этой главе, облачив их в гипергеометрические одежды. Сумма с тремя биномиальными коэффициентами из (5.29) может быть записана

в виде

Если обобщить это на комплексные числа, то получится так называемая формула Диксона:

Одной из наиболее общих формул из числа встречавшихся нам является сумма (5.28) с тремя биномиальными коэффициентами, которая приводит к тождеству Заальшютца:

Эта формула дает при величину обобщенного гипергеометрического ряда с тремя верхними и двумя нижними параметрами при условии, что один из верхних параметров является целым неположительным числом и что (Если сумма нижних параметров больше суммы верхних параметров не на 1, а на 2, то при помощи формулы из упр. 25 можно выразить через две гипергеометрические функции, которые удовлетворяют тождеству Заальшютца.)

Трудно давшееся нам соотношение из задачи 8 в разд. 5.2 сводится к

Да-а..., это всего лишь частный случай при с = 1 соотношения Заальшютца (5.97), так что можно было бы сберечь массу усилий, перейдя непосредственно к гипергеометрическому представлению!

А как насчет задачи 7? Та сверхтрудная сумма дает формулу

которая представляет собой первый случай, когда нам встретились три нижних параметра. Так что выглядит это довольно ново. Но на самом деле ничего нового здесь нет: если использовать

упр. 26, то левая часть может быть заменена на

и вновь получается соотношение Заальшютца.

Что еще один опыт дефляции, но вместе с тем еще один повод оценить силу гипергеометрических методов.

Соотношения свертки из табл. 229 не обладают гипергеометрическими эквивалентами, ибо их отношения членов являются рациональными по к функциями только тогда, когда — целое. Равенства (5.64) и (5.65) не являются гипергеометрическими, даже когда Но можно принять во внимание (5.62) для случая, когда принимает небольшие целочисленные значения:

Первая из данных формул вновь дает решение задачи 7, если заменить величины на соответственно.

И, наконец, „неожиданная" сумма (5.20) доставляет неожиданное гипергеометрическое соотношение, которое оказывается весьма поучительным. Рассмотрим это не спеша. Сначала превратим ее в бесконечную сумму:

Отношение членов есть так что получается гипергеометрическое тождество с

Но взгляните на нижний параметр целые отрицательные числа запрещены, так что данное тождество не определено!

Вот самое время тщательно рассмотреть подобные предельные случаи, как и было обещано ранее, поскольку гипергеометрические функции в точках „вырождения" зачастую могут быть вычислены путем приближения к ним из ближайших „невырожденных" точек. При этом необходимо проявлять осторожность, так как если пределы берутся разными способами, то и результаты могут получиться разные. Вот, к примеру, два предела, которые

оказываются совершенно разными, если один из верхних параметров увеличен на

Аналогично, нами определено а это не то же самое, что Чтобы правильно протрактовать (5.98) как предел, следует понимать, что верхний параметр используется для того, чтобы обратить в нуль все члены ряда это значит, что данному соотношению надлежит придать следующую более точную формулировку:

Каждый член этого предельного соотношения вполне определен, так как множитель в знаменателе не обращается в нуль до тех пор, пока Поэтому этот предел дает именно ту сумму (5.20), с которой мы начали.