7.4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ

Шаг 4 нашей процедуры станет проще, если мы будем знать коэффициенты многих различных степенных рядов. Разложения из табл. 369 весьма полезны, если они применимы, однако существует и много других типов выражений в замкнутом виде. Таким образом, следует дополнить эту таблицу еще одной, в которую будут включены степенные ряды, соответствующие „специальным числам" из гл. 6.

В табл. 386 содержится то, что нам нужно. Все эти тождества нетрудно доказать, так что нет необходимости задерживаться на них; предполагается, что мы будем обращаться к этой таблице, когда столкнемся с какой-либо новой задачей. Есть, однако, красивое доказательство формулы (7.43), на котором стоит остановиться. Начинаем с тождества

и дифференцируем его по х. Выражение в левой части равняется Так что внесет множитель . В правой части числитель равен разобьет его на сумму слагаемых, что эквивалентно умножению на

Замена х на дает (7.43). Заметьте, что имеет смысл, даже если х нецелое.

Кстати, при дифференцировании сложных произведений обычно оказывается гораздо лучше оставлять их в виде произведений, чем записывать производную как сумму. К примеру, правая часть тождества

была бы куда менее наглядной, если записать ее в виде суммы.

(см. скан)

У общих тождеств из табл. 386 имеется много важных частных случаев. Например, формула (7.43) при упрощается до производящей функции для чисел

Это уравнение можно вывести и другими способами; например, можно взять степенной ряд для и поделить его на получая производящую функцию для частичных сумм.

Тождества (7.51) и (7.52) включают отношения соответственно, которые для превращаются в неопределенности вида Им, однако, можно придать смысл, воспользовавшись многочленами Стирлинга из (6.45). Действительно, имеем

Так, например, для формулу (7.51) следует записывать не как степенной ряд а в следующем виде:

Тождества (7.53), (7-54). (7-55) и (7-5б) представляют „дважды производящие функщш“ или „суперпроизводящие функции! поскольку они имеют вид Коэффициентом при является производящая функция относительно переменной коэффициентом при является производящая функция относительно переменной Уравнению (7.56) можно придать более симметричный вид