Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.7 КОНТИНУАНТЫЧисла Фибоначчи обнаруживают важные связи с деревом Штерна—Броко, которое мы изучали в гл. 4, и допускают важные обобщения на последовательность многочленов, которую обстоятельно изучал Эйлер. Эти многочлены называются континуантами или К-многочленами, поскольку служат основой изучения континуальных (непрерывных) дробей — выражений вида
К-многочлен
Например, три следующих за
Отсюда индуктивно легко убедиться, что число членов в
Если число переменных ясно по смыслу, то вместо Эйлер подметил, что многочлен
Эти слова из точек и тире соответствуют членам Слово длины
Кроме того, известно, что общее число членов в континуанте равно некоторому числу Фибоначчи. Следовательно, установлено тождество
(Выражение в замкнутой форме для (6.129), обобщающее формулу Эйлера—Вине (6.123) для чисел Фибоначчи, приведено в Связь между К-многочленами и словами в азбуке Морзе показывает, что континуанты обладают зеркальной симметрией:
Поэтому, в дополнение к правосторонней рекуррентности из определения (6.127), они подчиняются рекуррентности, которая пристраивает переменные слева:
А обе эти рекуррентности являются частными случаями более общего правила:
Это правило легко истолковать, исходя из аналогии с азбукой Морзе: первое произведение Эйлер [376] обнаружил, что континуанты подчиняются еще более замечательному правилу, которое является обобщением соотношения Кассини:
Это правило (доказанное в упр. 29) справедливо тогда, когда индексы при всех К неотрицательны. Так, при
К-многочлены тесно связаны с алгоритмом Евклида. Предположим, например, что вычисление
Тогда
И вообще, если алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель Кроме того, континуанты тесно связаны с непрерывными дробями, от которых они получили свое название. К примеру,
Такая же картина наблюдается для непрерывных дробей любой „глубины" Это легко доказать по индукции; так
в силу соотношения
(Это соотношение доказано и обобщено в упр. 30.) Сверх того, континуанты тесно связаны и с деревом Штерна—Броко, которое обсуждалось в гл. 4. Каждый узел этого дерева может быть представлен в виде последовательности
где
(Доказательство этого составляет часть упр. 87.) Например,
В силу этого можно воспользоваться (4.34), чтобы записать, наконец, выражение в замкнутой форме для дроби из дерева Штерна—Броко,
(Это „теорема Халфена“ [329].) К примеру, чтобы найти дробь для
(Для поглощения единиц спереди и сзади в списках параметров мы воспользовались правилом Сравнение (6.135) и (6.139) показывает, что дробь, соответствующая произвольному узлу (6.137) в дереве Штерна—Броко, допускает представление в виде непрерывной дроби
Таким образом, можно без проволочек переходить от непрерывных дробей к соответствующим узлам дерева Штерна—Броко. К примеру,
В гл. 4 мы отмечали, что иррациональные числа определяют бесконечные пути в дереве Штерна—Броко и что они могут быть представлены в виде бесконечной строки букв L и R. Если такой бесконечной строкой для числа
Подобная бесконечная непрерывная дробь может быть получена и непосредственно. Пусть
Числа Рациональна или иррациональна эйлерова константа у? Этого никто не знает. Некоторую информацию об этой знаменитой нерешенной проблеме можно получить, поискав число у в дереве Штерна—Броко: если оно рационально, мы найдем его, а если оно иррационально, то мы найдем все наилучшие рациональные приближения к нему. Непрерывная дробь для числа у начинается со следующих неполных частных:
Поэтому представление Штерна—Броко для нее начинается с таких букв у — рациональное число, то его знаменатель должен насчитывать более 10 000 десятичных цифр. Поэтому никто не верит в то, что число у рационально, — тем не менее до сих пор никто не смог доказать, что оно таковым не является. Завершим эту главу доказательством одного замечательного тождества, которое связывает воедино многие из подобных понятий. В гл. 3 было введено понятие спектра — спектром числа
может быть назван производящей функцией для спектра числа
Интересны обе части (6.143), но рассмотрим вначале числа
Поскольку
и
Условимся называть число
Кроме того, если
Обратно, если
А как насчет дроби слева? Перепишем
(Это весьма тонкое преобразование! Числитель и знаменатель исходной дроби, имеющей
как и в (6.135). Вначале рассмотрим знаменатель, в надежде на его податливость. Полагая
Соответствующий этому знаменателю числитель
в сравнении
и вообще можно доказать по индукции, что
Поэтому
Взяв предел при
|
1 |
Оглавление
|