9. Асимптотика

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, если их удается получить, — это замечательно: окончательный ответ вызывает чувство глубокого удовлетворения. Но и приближенное значение иногда оказывается в цене. Если нас интересует какая-либо сумма или рекуррентная последовательность, не представимая (насколько мы можем судить) в замкнутом виде, то мы бы предпочли все же получить какую-нибудь информацию о ее поведении; принцип —все или ничего —в данном случае совсем неуместен. Даже если мы располагаем ответом в замкнутом виде, наши знания все же могут быть неполными, поскольку не всегда ясно, как сравнить наш ответ с другими формулами.

Так, вероятно, не существует замкнутого выражения для суммы

Приятно, однако, узнать, что

мы говорим, что сумма имеет „асимптотику" . Еще приятнее получить более детальную информацию, наподобие формулы

дающей „относительную ошибку порядка Но даже этого недостаточно, чтобы сказать, как велико в сравнении с другими величинами. Что больше, или число Фибоначчи Ответ: имеем при но в конце концов становится больше, поскольку тогда как

Наша цель в этой главе — научиться понимать и получать подобные результаты без чрезмерных усилий.

Слово асимптотика имеет греческое происхождение и буквально означает „никогда не соединяющиеся" Изучая конические сечения, древнегреческие математики рассматривали, в частности, гиперболы, такие, как график функции имеющий прямые своими „асимптотами".

При кривая приближается к асимптотам, но никогда не соприкасается с ними. В наши дни слово „асимптотика" используется в более широком смысле для обозначения любой приближенной величины, которая становится все более точной по мере приближения некоторого параметра к предельному значению. Для нас „асимптотика" означает «почти соединяющиеся».

Вывод некоторых асимптотических формул очень сложен и не укладывается в рамки этой книги. Мы удовлетворимся введением в предмет, полагая, что на этом базисе можно будет построить более сложные методы. В особенности нас будут интересовать определения символов и им подобных; мы также изучим основные способы преобразования асимптотических соотношений.