7.7 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ

Помимо рассмотренных, возможны многие другие способы порождения последовательностей по рядам; здесь можно использовать, по крайней мере, в принципе, любую систему „ядер“ , обладающих тем свойством, что

Для обычных производящих функций мы использовали ядра , а для экспоненциальных производящих функций можно попробовать также убывающие факториальные степени или биномиальные коэффициенты

Наиболее важная альтернатива производящим функциям и ЭПФ получается, если использовать ядра они рассчитаны на последовательности начинающиеся с , а не с

Эта функция называется производящей функцией Дирихле поскольку немецкий математик Густав Дирихле (1805— 1859) внес большой вклад в ее изучение.

Например, для постоянной последовательности равна

Это дзета-функция Римана, которую мы называли также обобщенным гармоническим числом для

Произведение производящих функций Дирихле отвечает специальному виду свертки:

Таким образом, есть ПФД последовательности

Например, мы знаем из (4.55), что это свертка Дирихле последовательности Мёбиуса с последовательностью следовательно,

Иначе говоря, ПФД последовательности равна

Производящие функции Дирихле особенно полезны, когда последовательность является мультипликативной функцией, т. е.

В таких случаях значения для всех определяются значениями для являющихся степенями простых чисел, и мы можем разложить ПФД в произведение по простым числам:

Если, например, положить для всех то получим представление дзета-функции Римана в виде произведения:

Для функции Мёбиуса при следовательно, ее ПФД равна

что, разумеется, согласуется с (7.89) и (7.91). Для функции Эйлера имеем поэтому ее ПФД имеет вид

Отсюда мы заключаем, что