Упражнения

Разминочные упражнения

1 Докажите или опровергните: если то

2 Какая из функций растет быстрее: а или

3 Что неверно в следующих рассуждениях? „Поскольку и т.д., то заключаем

4 Приведите пример верного соотношения, содержащего символ О в левой части, но не в правой. (Не используйте умножение на нуль; это слишком просто.) Указание: рассмотрите переход к пределу.

5 Докажите или опровергните: если положительны для всех (Сравните с

6 Умножьте на и выразите ответ в -обозначениях.

7 Оцените с абсолютной погрешностью

Обязательные упражнения

8 Приведите пример функций таких, что ни одно из трех отношений не выполняется, несмотря на то что обе эти функции монотонно стремятся к

9 Строго докажите (9.22), показав, что левая часть является подмножеством правой части в соответствии с теоретикомножественным определением О.

10 Докажите или опровергните: для всех вещественных х.

11 Докажите или опровергните:

12 Докажите, что

13 Вычислите с относительной погрешностью

14 Докажите, что

15 Дайте асимптотическую формулу для „среднего триномиального коэффициента верную с относительной погрешностью

16 Предполагая, что для докажите, что

при дополнительном условии для

17 Используя производящие функции, покажите, что для всех .

18 Найдите с относительной погрешностью

Домашние задания

19 Сравните с помощью компьютера левую и правую части аппроксимаций из табл. 491, положив

20 Докажите или опровергните следующие оценки при

21 Уравнение (9.48) дает простое число с относительной погрешностью Улучшите относительную погрешность до использовав в (9.46) еще один член (9.31).

22 Улучшите (9.54) до

23 Сделайте еще один шаг в улучшении (9.62), достигнув абсолютной погрешности Указание: пусть какому рекуррентному соотношению удовлетворяет

24 Предположим, что Докажите или опровергните то, что свертка также есть в следующих случаях:

25 Докажите формулы (9.1) и (9.2), с которых начиналась эта глава.

26 Уравнение (9.91) показывает, как вычислить с абсолютной погрешностью Следовательно, перейдя к экспонентам, мы получим 10! с относительной погрешностью, которая меньше, чем (Фактически эта аппроксимация дает 3628799.9714.) Если теперь, зная, что 10! — целое число, округлить результат до ближайшего целого, то получим точный ответ.

Всегда ли возможно вычислить подобным методом, взяв достаточное количество членов аппроксимации Стирлинга? Оцените значение дающее наилучшее приближение к для фиксированного (большого) целого Сравните абсолютную погрешность этой аппроксимации с самим значением

27 С помощью формулы суммирования Эйлера найдите асимптотическое значение — любое фиксированное вещественное число. (Ваш ответ может включать константу, значение которой в замкнутом виде вам неизвестно.)

28 В упр. 5.13 определена функция гиперфакториал: Найдите асимптотическое значение с относительной погрешностью (Ваш ответ может включать константу, значение которой в замкнутом виде вам неизвестно.)

29 Оцените функцию как в предыдущем упражнении.

30 Найдите асимптотическое значение с абсолютной погрешностью если I — фиксированное неотрицательное целое.

31 Вычислите с абсолютной погрешностью если — положительное целое.

Контрольные работы

32 Вычислите с абсолютной погрешностью

33 Вычислите с абсолютной погрешностью

34 Определите значения коэффициентов от Л до такие, что равняется

35 Вычислите с абсолютной погрешностью

36 Вычислите с абсолютной погрешностью

37 Вычислите с абсолютной погрешностью

38 Вычислите с относительной погрешностью

39 Вычислите с абсолютной погрешностью Указание: покажите, что членами с к можно пренебречь.

40 Пусть — положительное целое (фиксированное). Вычислите с абсолютной погрешностью

41 Вычислите „факториал Фибоначчи" с относительной погрешностью или лучшей. Ваш ответ может включать константу, значение которой в замкнутой форме вам неизвестно.

42 Пусть а — константа в диапазоне Как мы видели в предыдущих главах, не существует общего выражения в замкнутой форме для суммы Покажите, однако, что имеется асимптотическая формула

где Указание: покажите, что для

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)