Главная > Конкретная математика. Основание информатики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Упражнения

Разминочные упражнения

1 Каковы перестановок множества содержащих ровно два цикла? (Используйте обычную запись перестановки, наподобие 2314, а не разложение в циклы, как в (6.4).)

2 Всего имеется функций, отображающих множество из элементов во множество из элементов. Сколько из них принимают ровно к различных значений?

3 Те, кто складывал стопку карт в „реальной действительности", знают, что благоразумно это делать с небольшим запасом прочности, с тем чтобы стопка карт не опрокинулась при легком дуновении. Предположим, что центр тяжести верхних к карт должен находиться по меньшей мере в единицах от края карты. (Таким образом, первая карта, например, может выступать над второй самое большее на единиц.) Можем ли мы получить сколь угодно большой выступ, если располагаем достаточным числом карт?

4 Выразите через гармонические числа.

5 Объясните, как получить рекуррентность (6.75) из определения (6.74) величины и решите эту рекуррентность.

6 Некий исследователь оставил на острове пару крольчат. Если крольчата становятся половозрелыми через месяц и если каждая пара половозрелых кроликов производит на свет пару крольчат раз в месяц, то сколько пар кроликов будет в наличии через месяцев? (Через два месяца будет две пары, одна из которых — новорожденная.) Установите связь между этой задачей и „родословным деревом пчел“ в тексте главы.

7 Покажите, что тождество Кассини (6.103) является (а) частным случаем соотношения (6.108) и частным случаем правила (6.134).

8 Воспользуйтесь фибоначчиевой системой счисления для перевода 65 миль/час в приблизительное число

9 Сколько примерно квадратных километров в 8 квадратных милях?

10 Каково представление в виде непрерывной дроби?

Обязательные упражнения

11 Чему равна сумма знакочередующихся чисел ряда треугольника Стирлинга для числа циклов, если — целое неотрицательно число?

12 Докажите, что числа Стирлинга обладают правилом обращения, аналогичным правилу (5.48):

13 0 дифференциальных операторах шла речь в гл. 2 и 5. Имеем

поскольку что равносильно Точно так же может быть показано, что Докажите, что при любом имеют место общие формулы

(Эти формулы могут быть использованы для перехода от дифференциального выражения к выражению вида как это делалось в (5.109).)

14 Докажите „степенное" тождество (6.37) для чисел Эйлера.

15 Докажите эйлерово тождество (6.39), взяв разность функции (6.37).

16 Каково общее решение двойной рекуррентности

когда кип пробегают множество всех целых чисел?

17 Решите следующие рекуррентности, считая, что есть нуль при или

18 Докажите, что многочлены Стирлинга удовлетворяют соотношению

19 Докажите, что обобщенные числа Стирлинга удовлетворяют соотношениям

20 Выразите к в замкнутой форме.

21 Покажите, что если где — целые, то знаменатель кратен Указание: рассмотрите число

22 Докажите, что бесконечная сумма

сходится при любом комплексном числе кроме случаев, когда z — отрицательное целое, и покажите, что она равна когда z — неотрицательное целое число. (Тем самым эту формулу можно использовать для определения гармонических чисел при комплексном

23 Коэффициенты разложения по степеням z задаются равенством (6.81). А каковы коэффициенты разложения Указание: рассмотрите тождество

24 Докажите, что тангенциальное число кратно Указание: докажите, что все коэффициенты кратны

25 Равенство (6.57) показывает, что в конце концов червяк достигает конца резинки в некоторый момент времени Поэтому - сначала должен наступить такой момент времени когда он будет ближе к концу резинки по истечении минут, чем он был по истечении минут. Покажите, что

26 Воспользуйтесь правилом суммирования по частям для вычисления суммы Указание: рассмотрите, кроме того, похожую сумму

27 Докажите нод-правило для чисел Фибоначчи.

28 Числа Люка определяются как Таким образом, согласно (6.109), имеем Вот таблица нескольких их первых значений:

а Воспользуйтесь репертуарным методом, чтобы показать, что решение обобщенной рекуррентности

может быть выражено через Выразите через в замкнутой форме.

29 Докажите тождество Эйлера для континуантов — равенство (6.134).

30 Обобщите (6.136) с тем, чтобы найти выражение для континуанта с приращением при

Домашние задания

31 Найдите выражение в замкнутой форме для коэффициентов в представлении возрастающих степеней через убывающие:

(К примеру, следовательно

32 В гл. 5 мы получили формулы

развертывая рекуррентность двумя способами. А какие получатся тождества при развертывании аналогичной рекуррентности

33 В табл. 294 приведены величины Как выглядят выражения в замкнутой форме (не включающие в себя чисел Стирлинга) для последующих величин

34 Чему равны если считать, что основное рекуррентное соотношение справедливо при любых целых к и и если при любом

35 Докажите, что при всяком существует целое (зависящее от ), такое, что

36 Можно ли сложить штабель из кирпичей таким образом, чтобы самый верхний кирпич полностью выступал над самым нижним кирпичом; при этом человек, вес которого равен весу 100 кирпичей, мог бы балансировать на середине верхнего кирпича, не обрушивая весь штабель?

37 Выразите через гармонические числа, считая, что тип — целые положительные числа. Какова предельная величина данной суммы при

38 Вычислите неопределенную сумму

39 Выразите сумму

40 Докажите, что 1979 делит числитель суммы и укажите аналогичную сумму для 1987. Указание: воспользуйтесь уловкой Гаусса для получения суммы дробей, числители которых равны 1979; см. также упр. 4.

41 Вычислите сумму

в замкнутой форме, если — целое (возможно, отрицательное) число.

42 Если - некоторое множество целых чисел, то пусть будет „сдвинутым“ множеством Сколько подмножеств множества обладают тем свойством, что

43 Докажите, что бесконечная сумма

сходится к рациональному числу.

44 Обоснуйте обращение тождества Кассини если - целые числа, такие, что то существует целое такое, что

45 Воспользуйтесь репертуарным методом для решения обобщенной рекуррентности

46 Чему равны

47 Покажите, что

и воспользуйтесь этим соотношением для установления величин при простом .

48 Докажите, что нулевые параметры К-многочленов могут быть удалены путем стягивания их соседей:

49 Укажите представление числа в виде непрерывной дроби.

50 Определим функцию при любом целом положительном рекуррентно:

а При каких значение четное?

b Покажите, что может быть выражена через континуанты.

Контрольные работы

51 Пусть простое число.

а Докажите, что при

b Докажите, что при

с Докажите, что при

Докажите, что если то Указание: рассмотрите

52 Пусть число записано в виде несократимой дроби а Докажите, что если — простое.

b Найдите все такие, что делится на 5.

53 Выразите в замкнутой форме сумму при Указание: такая сумма, без множителя содержится в упр. 5.42.

54 Пусть Цель этого упражнения — показать, что знаменатель числа является произведением всех простых , таких, что

а Покажите, что кратно , когда — простое и Воспользуйтесь результатом части (а), чтобы показать, что

является целым числом.

Указание: достаточно доказать, что если — некоторое простое число, то знаменатель дроби не делится на р. с Докажите, что знаменатель числа всегда является нечетным кратным шести и что он равняется 6 для бесконечно многих

55 Выведите (6.70) в качестве следствия некоторого более общего тождества, вычисляя сумму

и дифференцируя затем по х.

56 Вычислите в замкнутой форме как функцию целых чисел тип. (Это сумма по всем целым к, за исключением )

57 Обернутые биномиальные коэффициенты порядка определяются как

и Пусть разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел в ряду:

Установите и обоснуйте связь между числами и числами Фибоначчи.

58 Выразите в замкнутой форме суммы Что вы можете сказать о величине

59 Докажите, что если — целые положительные числа, то существует целое х, такое, что

60 Укажите все целые положительные такие, что либо либо являются простыми числами.

61 Докажите тождество

Чему равна сумма

62 Пусть

а Найдите константы и , такие, что при любом .

b Выразите через (см. упр. 28).

с Докажите, что Выразите в замкнутой форме сумму

Конкурсные задачи

63 Сколько перестановок множества содержат ровно к индексов таких, что:

a при всех (Подобные называются „левосторонними максимумами!) (Подобные называются „превышениями!)

64 Чему равен знаменатель дроби [ если ее привести к несократимому виду?

65 Докажите тождество

66 Чему равна сумма чисел -го ряда треугольника Эйлера с чередующимися знаками?

67 Докажите, что

68 Покажите, что и выразите в замкнутой форме.

69 Найдите выражение в замкнутой форме для

70 Покажите, что обобщенные гармонические числа из упр. 22 разлагаются в степенной ряд

71 Докажите, что обобщенный факториал из уравнения (5.83) может быть записан как

рассмотрев предел при первых сомножителей данного бесконечного произведения. Покажите, что связано с обобщенными гармоническими числами из упр. 22.

72 Докажите, что функция тангенс разлагается в степенной ряд (6.92), и найдите соответствующий ряд для

73 Докажите, что равен

при любом целом и покажите, что при фиксированном к и предел общего члена равен

74 Укажите связь между числами и коэффициентами разложения

75 Докажите, что тангенциальные числа и коэффициенты разложения располагаются по сторонам бесконечного треугольника, который начинается следующим образом:

Каждая строка содержит частичные суммы предыдущей строки, поочередно слева-направо и справа-налево. Указание: рассмотрите коэффициенты степенного ряда для

76 Найдите выражение в замкнутой форме для суммы

и покажите, что она равна нулю при четном

77 При целых формула (6.48) дает значение при формула (6.49) — при и формула (6.101) — при Покажите, что в остальных случаях имеет место равенство

78 Докажите следующее соотношение, которое связывает числа Стирлинга, числа Бернулли и числа Каталана:

79 Покажите, что в парадоксе четыре части шахматной доски могут быть переставлены и таким образом, что окажется

80 Последовательность, определенная рекуррентно как содержит при некотором . Какие целые положительные числа х и у приводят к максимально возможному ?

81 В тексте описан способ сведения формулы, содержащей числа к формуле, содержащей только числа Поэтому естественно поинтересоваться, могут ли две такие формулы быть равными, если они не совпадают по форме. Пусть будет многочленом относительно х и у с целочисленными коэффициентами. Укажите необходимое и достаточное условие того, что при любом

82 Объясните, как складывать целые положительные числа, действуя исключительно в фибоначчиевой системе счисления.

83 Возможно ли, чтобы последовательность удовлетворяющая фибоначчиевой рекуррентности не содержала простых чисел, если — взаимно простые числа?

84 Пусть — целые нечетные положительные числа. Выразите в замкнутой форме

Указание: суммы из упр. 62 — это

85 Охарактеризуйте все такие что вычеты чисел Фибоначчи для образуют полное множество упр. 59.)

86 Пусть — последовательность ненулевых малых чисел, такая, что

для всех положительных целых тип. Докажите, что обобщенные биномиальные коэффициенты

все являются целыми числами. (В частности, „фибоначчиевы коэффициенты, образованные этим способом из чисел Фибоначчи, целые ввиду

87 Покажите, что К-многочлены представимы в виде произведения матриц

и в виде определителя

88 Обобщая (6.146), укажите непрерывную дробь, связанную с производящей функцией если а — некоторое положительное иррациональное число.

89 Пусть а — некоторое иррациональное число из интервала (0,1), и пусть — неполные частные в его представлении в виде непрерывной дроби. Покажите, что где это отклонение, определенное в гл. 3.

90 Пусть — наибольший знаменатель на уровне дерева Штерна—Броко. (Таким образом, в соответствии со схемой из Докажите, что

Исследовательские проблемы

91 Каким способом лучше всего распространить определение на произвольные вещественные числа пик?

92 Пусть число записано в виде несократимой дроби как в упр. 52.

а Бесконечно ли много таких что при некотором фиксированном простом ?

b Бесконечно ли много таких что (Двумя подобными являются )

93 Докажите, что числа у и иррациональны.

94 Разработайте общую теорию решения двухпараметрической рекуррентности

считая, что при или (Биномиальные коэффициенты, числа Стирлинга, числа Эйлера и последовательности чисел из упр. 17 и 31 — это все частные случаи.) Какие отдельные значения образуют „фундаментальные решения" через которые может быть выражено общее решение?

95 Найдите эффективный способ распространить алгоритм Госпера—Зильбергера с гипергеометрических членов на члены, содержащие числа Стирлинга.

1
Оглавление
email@scask.ru