Упражнения

Разминочные упражнения

1 Каковы перестановок множества содержащих ровно два цикла? (Используйте обычную запись перестановки, наподобие 2314, а не разложение в циклы, как в (6.4).)

2 Всего имеется функций, отображающих множество из элементов во множество из элементов. Сколько из них принимают ровно к различных значений?

3 Те, кто складывал стопку карт в „реальной действительности", знают, что благоразумно это делать с небольшим запасом прочности, с тем чтобы стопка карт не опрокинулась при легком дуновении. Предположим, что центр тяжести верхних к карт должен находиться по меньшей мере в единицах от края карты. (Таким образом, первая карта, например, может выступать над второй самое большее на единиц.) Можем ли мы получить сколь угодно большой выступ, если располагаем достаточным числом карт?

4 Выразите через гармонические числа.

5 Объясните, как получить рекуррентность (6.75) из определения (6.74) величины и решите эту рекуррентность.

6 Некий исследователь оставил на острове пару крольчат. Если крольчата становятся половозрелыми через месяц и если каждая пара половозрелых кроликов производит на свет пару крольчат раз в месяц, то сколько пар кроликов будет в наличии через месяцев? (Через два месяца будет две пары, одна из которых — новорожденная.) Установите связь между этой задачей и „родословным деревом пчел“ в тексте главы.

7 Покажите, что тождество Кассини (6.103) является (а) частным случаем соотношения (6.108) и частным случаем правила (6.134).

8 Воспользуйтесь фибоначчиевой системой счисления для перевода 65 миль/час в приблизительное число

9 Сколько примерно квадратных километров в 8 квадратных милях?

10 Каково представление в виде непрерывной дроби?

Обязательные упражнения

11 Чему равна сумма знакочередующихся чисел ряда треугольника Стирлинга для числа циклов, если — целое неотрицательно число?

12 Докажите, что числа Стирлинга обладают правилом обращения, аналогичным правилу (5.48):

13 0 дифференциальных операторах шла речь в гл. 2 и 5. Имеем

поскольку что равносильно Точно так же может быть показано, что Докажите, что при любом имеют место общие формулы

(Эти формулы могут быть использованы для перехода от дифференциального выражения к выражению вида как это делалось в (5.109).)

14 Докажите „степенное" тождество (6.37) для чисел Эйлера.

15 Докажите эйлерово тождество (6.39), взяв разность функции (6.37).

16 Каково общее решение двойной рекуррентности

когда кип пробегают множество всех целых чисел?

17 Решите следующие рекуррентности, считая, что есть нуль при или

18 Докажите, что многочлены Стирлинга удовлетворяют соотношению

19 Докажите, что обобщенные числа Стирлинга удовлетворяют соотношениям

20 Выразите к в замкнутой форме.

21 Покажите, что если где — целые, то знаменатель кратен Указание: рассмотрите число

22 Докажите, что бесконечная сумма

сходится при любом комплексном числе кроме случаев, когда z — отрицательное целое, и покажите, что она равна когда z — неотрицательное целое число. (Тем самым эту формулу можно использовать для определения гармонических чисел при комплексном

23 Коэффициенты разложения по степеням z задаются равенством (6.81). А каковы коэффициенты разложения Указание: рассмотрите тождество

24 Докажите, что тангенциальное число кратно Указание: докажите, что все коэффициенты кратны

25 Равенство (6.57) показывает, что в конце концов червяк достигает конца резинки в некоторый момент времени Поэтому - сначала должен наступить такой момент времени когда он будет ближе к концу резинки по истечении минут, чем он был по истечении минут. Покажите, что

26 Воспользуйтесь правилом суммирования по частям для вычисления суммы Указание: рассмотрите, кроме того, похожую сумму

27 Докажите нод-правило для чисел Фибоначчи.

28 Числа Люка определяются как Таким образом, согласно (6.109), имеем Вот таблица нескольких их первых значений:

а Воспользуйтесь репертуарным методом, чтобы показать, что решение обобщенной рекуррентности

может быть выражено через Выразите через в замкнутой форме.

29 Докажите тождество Эйлера для континуантов — равенство (6.134).

30 Обобщите (6.136) с тем, чтобы найти выражение для континуанта с приращением при

Домашние задания

31 Найдите выражение в замкнутой форме для коэффициентов в представлении возрастающих степеней через убывающие:

(К примеру, следовательно

32 В гл. 5 мы получили формулы

развертывая рекуррентность двумя способами. А какие получатся тождества при развертывании аналогичной рекуррентности

33 В табл. 294 приведены величины Как выглядят выражения в замкнутой форме (не включающие в себя чисел Стирлинга) для последующих величин

34 Чему равны если считать, что основное рекуррентное соотношение справедливо при любых целых к и и если при любом

35 Докажите, что при всяком существует целое (зависящее от ), такое, что

36 Можно ли сложить штабель из кирпичей таким образом, чтобы самый верхний кирпич полностью выступал над самым нижним кирпичом; при этом человек, вес которого равен весу 100 кирпичей, мог бы балансировать на середине верхнего кирпича, не обрушивая весь штабель?

37 Выразите через гармонические числа, считая, что тип — целые положительные числа. Какова предельная величина данной суммы при

38 Вычислите неопределенную сумму

39 Выразите сумму

40 Докажите, что 1979 делит числитель суммы и укажите аналогичную сумму для 1987. Указание: воспользуйтесь уловкой Гаусса для получения суммы дробей, числители которых равны 1979; см. также упр. 4.

41 Вычислите сумму

в замкнутой форме, если — целое (возможно, отрицательное) число.

42 Если - некоторое множество целых чисел, то пусть будет „сдвинутым“ множеством Сколько подмножеств множества обладают тем свойством, что

43 Докажите, что бесконечная сумма

сходится к рациональному числу.

44 Обоснуйте обращение тождества Кассини если - целые числа, такие, что то существует целое такое, что

45 Воспользуйтесь репертуарным методом для решения обобщенной рекуррентности

46 Чему равны

47 Покажите, что

и воспользуйтесь этим соотношением для установления величин при простом .

48 Докажите, что нулевые параметры К-многочленов могут быть удалены путем стягивания их соседей:

49 Укажите представление числа в виде непрерывной дроби.

50 Определим функцию при любом целом положительном рекуррентно:

а При каких значение четное?

b Покажите, что может быть выражена через континуанты.

Контрольные работы

51 Пусть — простое число.

а Докажите, что при

b Докажите, что при

с Докажите, что при

Докажите, что если то Указание: рассмотрите

52 Пусть число записано в виде несократимой дроби а Докажите, что если — простое.

b Найдите все такие, что делится на 5.

53 Выразите в замкнутой форме сумму при Указание: такая сумма, без множителя содержится в упр. 5.42.

54 Пусть Цель этого упражнения — показать, что знаменатель числа является произведением всех простых , таких, что

а Покажите, что кратно , когда — простое и Воспользуйтесь результатом части (а), чтобы показать, что

является целым числом.

Указание: достаточно доказать, что если — некоторое простое число, то знаменатель дроби не делится на р. с Докажите, что знаменатель числа всегда является нечетным кратным шести и что он равняется 6 для бесконечно многих

55 Выведите (6.70) в качестве следствия некоторого более общего тождества, вычисляя сумму

и дифференцируя затем по х.

56 Вычислите в замкнутой форме как функцию целых чисел тип. (Это сумма по всем целым к, за исключением )

57 Обернутые биномиальные коэффициенты порядка определяются как

и Пусть разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел в ряду:

Установите и обоснуйте связь между числами и числами Фибоначчи.

58 Выразите в замкнутой форме суммы Что вы можете сказать о величине

59 Докажите, что если — целые положительные числа, то существует целое х, такое, что

60 Укажите все целые положительные такие, что либо либо являются простыми числами.

61 Докажите тождество

Чему равна сумма

62 Пусть

а Найдите константы и , такие, что при любом .

b Выразите через (см. упр. 28).

с Докажите, что Выразите в замкнутой форме сумму

Конкурсные задачи

63 Сколько перестановок множества содержат ровно к индексов таких, что:

a при всех (Подобные называются „левосторонними максимумами!) (Подобные называются „превышениями!)

64 Чему равен знаменатель дроби [ если ее привести к несократимому виду?

65 Докажите тождество

66 Чему равна сумма чисел -го ряда треугольника Эйлера с чередующимися знаками?

67 Докажите, что

68 Покажите, что и выразите в замкнутой форме.

69 Найдите выражение в замкнутой форме для

70 Покажите, что обобщенные гармонические числа из упр. 22 разлагаются в степенной ряд

71 Докажите, что обобщенный факториал из уравнения (5.83) может быть записан как

рассмотрев предел при первых сомножителей данного бесконечного произведения. Покажите, что связано с обобщенными гармоническими числами из упр. 22.

72 Докажите, что функция тангенс разлагается в степенной ряд (6.92), и найдите соответствующий ряд для

73 Докажите, что равен

при любом целом и покажите, что при фиксированном к и предел общего члена равен

74 Укажите связь между числами и коэффициентами разложения

75 Докажите, что тангенциальные числа и коэффициенты разложения располагаются по сторонам бесконечного треугольника, который начинается следующим образом:

Каждая строка содержит частичные суммы предыдущей строки, поочередно слева-направо и справа-налево. Указание: рассмотрите коэффициенты степенного ряда для

76 Найдите выражение в замкнутой форме для суммы

и покажите, что она равна нулю при четном

77 При целых формула (6.48) дает значение при формула (6.49) — при и формула (6.101) — при Покажите, что в остальных случаях имеет место равенство

78 Докажите следующее соотношение, которое связывает числа Стирлинга, числа Бернулли и числа Каталана:

79 Покажите, что в парадоксе четыре части шахматной доски могут быть переставлены и таким образом, что окажется

80 Последовательность, определенная рекуррентно как содержит при некотором . Какие целые положительные числа х и у приводят к максимально возможному ?

81 В тексте описан способ сведения формулы, содержащей числа к формуле, содержащей только числа Поэтому естественно поинтересоваться, могут ли две такие формулы быть равными, если они не совпадают по форме. Пусть будет многочленом относительно х и у с целочисленными коэффициентами. Укажите необходимое и достаточное условие того, что при любом

82 Объясните, как складывать целые положительные числа, действуя исключительно в фибоначчиевой системе счисления.

83 Возможно ли, чтобы последовательность удовлетворяющая фибоначчиевой рекуррентности не содержала простых чисел, если — взаимно простые числа?

84 Пусть — целые нечетные положительные числа. Выразите в замкнутой форме

Указание: суммы из упр. 62 — это

85 Охарактеризуйте все такие что вычеты чисел Фибоначчи для образуют полное множество упр. 59.)

86 Пусть — последовательность ненулевых малых чисел, такая, что

для всех положительных целых тип. Докажите, что обобщенные биномиальные коэффициенты

все являются целыми числами. (В частности, „фибоначчиевы коэффициенты, образованные этим способом из чисел Фибоначчи, целые ввиду

87 Покажите, что К-многочлены представимы в виде произведения матриц

и в виде определителя

88 Обобщая (6.146), укажите непрерывную дробь, связанную с производящей функцией если а — некоторое положительное иррациональное число.

89 Пусть а — некоторое иррациональное число из интервала (0,1), и пусть — неполные частные в его представлении в виде непрерывной дроби. Покажите, что где это отклонение, определенное в гл. 3.

90 Пусть — наибольший знаменатель на уровне дерева Штерна—Броко. (Таким образом, в соответствии со схемой из Докажите, что

Исследовательские проблемы

91 Каким способом лучше всего распространить определение на произвольные вещественные числа пик?

92 Пусть число записано в виде несократимой дроби как в упр. 52.

а Бесконечно ли много таких что при некотором фиксированном простом ?

b Бесконечно ли много таких что (Двумя подобными являются )

93 Докажите, что числа у и иррациональны.

94 Разработайте общую теорию решения двухпараметрической рекуррентности

считая, что при или (Биномиальные коэффициенты, числа Стирлинга, числа Эйлера и последовательности чисел из упр. 17 и 31 — это все частные случаи.) Какие отдельные значения образуют „фундаментальные решения" через которые может быть выражено общее решение?

95 Найдите эффективный способ распространить алгоритм Госпера—Зильбергера с гипергеометрических членов на члены, содержащие числа Стирлинга.