ГЛАВА 5. МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ: СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

(Б. И. Юстуссон)

Медианная фильтрация является методом нелинейной обработки сигналов, который может быть полезен при подавлении шумов. Она была предложена в качестве инструмента анализа временных рядов Тьюки [5.1], в 1971 г. и позже ее стали применять также при обработке изображений. Медианная фильтрация осуществляется посредством движения некоторой апертуры вдоль дискретизированного изображения (последовательности) и замены значения элемента изображения в центре апертуры медианой исходных значений отсчетов внутри апертуры. При этом обычно получается более гладкое, по сравнению с исходным, результирующее изображение (последовательность отсчетов).

Классическая процедура сглаживания состоит в использовании линейной фильтрации нижних частот и во многих случаях является наиболее приемлемой процедурой. Тем не менее в определенных ситуациях медианная фильтрация предпочтительней. Она имеет следующие основные преимущества: 1) медианная фильтрация сохраняет резкие перепады, тогда как линейная низкочастотная фильтрация смазывает такие перепады; 2) медианные фильтры очень эффективны при сглаживании импульсного шума. Эти свойства пояснены на рис. 5.1.

Основная цель главы — представить различные теоретические результаты, касающиеся медианной фильтрации. Автор надеется, что эти результаты помогут составить правильное суждение о практической применимости медианных фильтров.

Рис. 5.1. Последовательности типа граница плюс шум (а) после медианной фильтрации (б), после фильтрации с помощью скользящего среднего

Основные определения, касающиеся медианных фильтров, даны в разд. 5.1. В разд. 5.2 исследуется способность медианных фильтров подавлять шум, а также приведены формулы, которые дают количественные представления о степени подавления шума. Рассматриваются белый, небелый, импульсный и точечный шумы. В разд. 5.3 сравнивается качество фильтрации посредством вычисления скользящего среднего и медианных фильтров на изображениях вида «перепад плюс шум». Влияние медианных фильтров на статистику второго порядка случайного шума обсуждается в разд. 5.4. Для входного сигнала с белым шумом даны точные результаты; для небелого шума с помощью предельных теорем получены приближенные результаты. Частотная характеристика рассматривается посредством оценки отклика фильтра на простую косинусоиду, а также на сигналы более общего вида. В разд. 5.5 представлены некоторые модификации медианных фильтров, которые также обладают свойством сохранения перепадов, но отличаются от простых медианных фильтров другими свойствами. Некоторые применения медиан и других порядковых статистик рассматриваются в разд. 5.6.

В заключение приведен небольшой обзор более ранних работ, касающихся медиан и медианной фильтрации.

Медианы давно использовались и изучались в статистике как альтернатива средним арифметическим значениям отсчетов в оценке выборочных средних значений популяций. Большинство исследований касались медиан и других порядковых статистик последовательностей независимых случайных величин (см. хорошо известные монографии [5.2, 5.3]). Однако медианы зависимых случайных величин также изучались в литературе (см. [5.4], где даны дополнительные ссылки).

Как упоминалось выше, скользящая оценка медианы была предложена Тьюки, который применил ее для сглаживания временных рядов, встречающихся в экономических исследованиях. Тьюки также рассматривал итеративную медианную фильтрацию и указывал, что она сохраняет во временных рядах большие резкие изменения их уровня (т. е. перепады). В [5.5] и [5.6] применена скользящая медиана при обработке речи для очистки высоких тонов от помех [5.7]. Разработан метод обработки сигналов для подчеркивания краев, в котором медианный фильтр предназначен для уничтожения ложных колебаний после линейной фильтрации.

Позже медианные фильтры были применены несколькими авторами в обработке изображений. В 1975 г. Прэтт исследовал эффективность медианной фильтрации изображений с нормальным белым и импульсным шумами, а также влияние различных форм апертуры фильтра. Его результаты были опубликованы в [5.8, разд. 12.6]. Медианные фильтры были использованы для коррекции шума сканирующих устройств [5.9].