5.3. Перепад плюс шум

Мы уже видели, что медианные фильтры сохраняют перепады (в отсутствие шума), тогда как скользящее усреднение смазывает такие перепады. Кроме того, для случая нормального белого шума (на постоянном фоне) скользящее усреднение уменьшает такой шум несколько эффективнее, чем медианные фильтры с тем же размером апертуры. В этом разделе рассмотрим фильтрацию перепадов при наличии аддитивного белого шума, т. е. фильтрацию последовательностей, или изображений, с

где — детерминированный сигнал, равный 0 по одну сторону от перепада и — по другую, случайные значения белого шума В подразд. 5.3.1 сравнивается действие на такие последовательности (изображения) медианной фильтрации и скользящего усреднения. В подразд. 5.3.2 содержится математический вывод распределения порядковых статистик таких последовательностей. Этот вы вод мы включили по той причине, что он является примером суждений, которые можно использовать при выводе других резуль татов, касающихся порядковых статистик независимых случайных величин, как, например, (5.8) и результаты в подразд. 5.4.1.

5.3.1. Сравнение медианной фильтрации и скользящего усреднения

Предположим, что случайные значения шума распределены по нормальному закону . Для начала рассмотрим одномерную фильтрацию и будем считать, что перепад происходит и

Рис. 5.5 Граница плюс шум. Математические ожидания для скользящей медианы (М), скользящего среднего при

Рис. 5.6. Граница плюс шум. Моменты для скользящей медианы (М) и скользящего среднего при

точке (рис. 5.5). Таким образом, для 10 величина есть , а для величина есть . Плотность вероятностей -точечной медианы с величинами из величинами из может быть получена из (5.37) — (5.39), приведенных в следующем разделе. Хотя формула для достаточно сложна, путем численного интегрирования можно очень просто найти средние значения и стандартные отклонения. Это было сделано для и некоторых значений и к. Результаты представлены в табл. 5.3. Значения для можно получить путем соответствующего изменения масштаба, а для — зная симметричные значения аргументов.

Распределение скользящего среднего, как легко понять, является , где — число точек в пределах апертуры, имеющих значение

Таблица 5.3. Среднее значение и стандартное отклонение медиан на последовательностях типа граница плюс шум: где — независимые одинаково распределенные величины )

На рис. 5.5 показана последовательность значений математического ожидания медиан и скользящего среднего вблизи перепада высотой при Значения скользящего среднего следуют по наклонной линии, и это свидетельствует о существенном смазывании перепада. Поведение математического ожидания значений: медианы также свидетельствует некотором смазывании, хотя и гораздо меньше, чем для скользящего среднего.

Чтобы иметь возможность сравнить эффективность фильтров на последовательностях типа перепад плюс шум, нужны меры ности передачи перепада. Воспользуемся мерой среднеквадратичной ошибки усредненной по точкам вблизи перепада

где у; — значения на выходе фильтра. Для случая, показанного на рис. 5.5, т. е. для выражение (5.33) равно На рис. 5.6 представлены графики значений как функциг перепада для медианного фильтра и для скользящего усреднения. Видно, что при для скользящего средней немного меньше, чем для медианы, а при дианы значительно меньше, чем среднего. Этот результат показывает, что скользящая медиана значительно лучше, скользящее среднее, для перепадов большой высоты перепадов меньшей высоты различие между двумя фильтрали очень незначительно. Очень похожие результаты получены больших апертур, и для двумерной фильтрации с апертура Эти выводы также подтверждаются результатам: фильтрации изображений на рис. 5.3, где фиксировано и Мера точности, которую мы использовали, может рактеризовать только резкость поперек перепада. Она ничего говорит о гладкости фильтрованного изображения вдоль перепа да. На рис. 5.3 показано, что скользящее усреднение дает сигналь гладкие вдоль перепада, тогда как при обработке с помощью дианных фильтров протяженные перепады оказываются слегка резанными.

Сделаем теперь несколько дополнительных замечаний относи тельно поведения медиан при изменении Мы предполагаем, — число переменных со средним — меньше По рис 5.6 и из табл. 5.3 видно, что стандартные отклонения увеличивают с увеличением и имеют асимптотически ограниченные значения. Математические ожидания медианы для малых Л близки математическим ожиданиям для соответствующих средних

но для больших они асимптотически ограничены и, таким образом, ведут себя совершенно иначе, чем математические ожидания средних. Объясняется это тем, что при больших Л (скажем, переменные х со средним значением 0 (скажем, здесь

будут резко отделены от переменных х со средним (скажем, здесь ) и тогда

где индекс в правой части означает порядковую статистику последовательности Математические ожидания и дисперсии нормальных порядковых статистик можно найти в [5.12]. Приближенная формула для математического ожидания

где — функция распределения х. В заключение отметим, что полученные результаты можно, конечно, использовать при анализе не только перепадов, но и других объектов. Модель может быть пригодна для описания, например, импульсов с аддитивным шумом.

5.3.2. Распределение порядковых статистик в выборках из двух распределений

Пусть — независимые случайные величины, причем имеют функцию распределения и плотность распределения имеют функцию распределения и плотность распределения . Тогда порядковая статистика из [ дает медиану] имеет плотность распределения

где

Суммирование выполняется по всем натуральным числам для которых соответствующие биномиальные коэффициенты удовлетворяют условию

Доказательство. Плотность распределения может быть найдена по формуле

Метод доказательства заключается в том, что события в (5.40) делятся на подмножества, вероятности которых можно определить. Число различных подмножеств подсчитывается методами комбинаторики

Мы также используем тот факт, что в бесконечно малый интервал может попасть не более чем одна переменная Применены следующие подмножества:

интервал попадает один член из последовательности

— в интервал попадает один член из последовательности

— точно членов из последовательности попадают в интервал

По закону полной вероятности

Рассмотрим событие в первой сумме. Оно происходит тогда и только тогда, когда одна из величин попадает в интервал величин из оставшихся в попадают в интервал величин из попадают в интервал и все оставшиеся величины — в интервал Вероятность этого события будет равна

Подставляя (5.42) в (5.41) и устремляя к 0 справа, . С помощью аналогичных рассуждений получим второй суммы в (5.41). В этом случае один элемент последовательности попадает в интервал