5.2. Подавление шумов с помощью медианной фильтрации

Как утверждалось выше, медианные фильтры могут использоваться для подавления шумов. Прэтт [5.8] на качественном уровне рассмотрел их действие на белый и импульсный шумы. Здесь приведем некоторые соотношения для дисперсии, которые в количественной форме оценивают степень подавления шума.

Медианные фильтры нелинейны, и это усложняет математический анализ их характеристик. Нельзя разграничить влияние этих фильтров на сигнал и шум, что для линейных фильтров делается очень просто. Ограничимся рассмотрением простейшего случая постоянного сигнала.

5.2.1. Белый шум

Модель белого шума. Значения элементов изображения или последовательность чисел являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами со средним значением

где , следовательно, .

Пусть обозначают функции распределения и плотности вероятностей величин х. Теперь запишем два известных результата из теории вероятностей, касающихся медиан независимых, одинаково распределенных случайных величин (см. [5.3], гл. 2.9).

Плотность распределения медиана для нечетных

Распределение медиана для больших является приблизительно нормальным где — теоретическая медиана, определяемая из условия и

При малых обычно можно получить лучшее приближение для дисперсии заменой члена в (5.9) членом где

Эта модификация получена вследствие выбора таким, что при формула (5.9) становится точной.

Приведенные результаты справедливы как для одномерной, так я двумерной фильтрации, если выбирать равным числу точек в апертуре фильтра. Если симметрична относительно , то (5.8) также будет симметрична относительно , таким образом, справедлива следующая простая формула:

Пример 5.1. Равномерное распределение. Если случайные величины х являются и равномерно распределены на отрезке [0, 1], то можно найти точное значение дисперсии медианы, используя (5.8):

Формула (5.9) после небольшой модификации дает тот же результат.

Пример 5.2. Нормальное распределение. Если случайные величины х являются независимыми, одинаково распределенными с нормальным распределением, то и дисперсию можно найти только при помощи численного интегрирования, используя (5.8). Значения дисперсии медианы случайных величин сведены в табл. 5.4 в строках . Формула (5.9), модифицированная для малых дает:

Эта формула обеспечивает хорошую точность для всех нечетных

Среднее значение х для случайных величин имеет дисперсию Равенстно (5.12) показывает также, что для нормального белого шума дисперсия медианы приблизительно на больше, чем дисперсия для среднего. Следовательно, скользящее усреднение подавляет нормальный белый шум несколько лучше, чем медианный фильтр с такой же апертурой. Иначе говоря, чтобы медианный фильтр давал ту же дисперсию шума, что и скользящее среднение. в его апертуре должно быть на 57% больше точек. Результаты медианной фильтрации и фильтрации скользящим усреднением с апертурой показаны на рис. 5.3. Каждое изображение состоит из элементов, размеры каждого элемента мм; — исходное тестовое изображение; были получены изменением шкалы значений и добавлением нормального белого шума со значениями стандартного отклонения где — наибольшая высота перепада (рис. 5.3 будет рассмотрен также в разд. 5.3).

Пример 5.3. Двойное экспоненциальное распределение. Пусть случайные величины х имеют двойное экспоненциальное распределение со средним и дисперсией т. е. имеют плотность распределения

Тогда согласно (5.9) асимптотическая дисперсия медианы

что на 51% меньше, чем дисперсия среднего арифметического х. Таким образом, для этого типа мешана является лучшей оценкой чем среднее

(кликните для просмотра скана)

арифметическое х. Медиана является наиболее правдоподобной оценкой и, следовательно, оптимальной оценкой по критерию минимума среднеквадратичной погрешности (по крайней мере асимптотически). То, что медиана является здесь цаиболее правдоподобной оценкой, с очевидностью вытекает из общего результата, показывающего, что медиана представляет собой наплучшую по минимуму абсолютного отклонения оценку центра распределения, т. е.

достигается для медиана Из полученных результатов вытекает более общий вывод о том, что медиана лучше, чем арифметическое среднее, служит для подавления шумов с распределениями с тяжелыми хвостами. Предельным случаем шума с таким распределением является импульсный шум, который будет рассмотрен в подразд. 5.2.3.

5.2.2. Небелый шум

Для входных последовательностей (изображений), которые являются случайными процессами (случайными полями) общего вида, т. е. полями с не независимыми значениями отсчетов, нельзя получить простые точные формулы для распределения медиан. Тем не менее существуют предельные теоремы, аналогичные (5.9) (см. [5.4, 5.10], где можно найти также дополнительные ссылки на литературу). Условия, необходимые для предельных теорем, состоят в том, что процессы стационарны и перемешаны. Согласно условиям перемешивания отсчеты процесса, расположенные далеко друг от друга, должны быть практически независимы (подробности см. в [5.4, 5.10]). Для стационарного перемешанного нормального процесса с ковариационной функцией

имеем приближенное выражение для дисперсии медианы

Для случая двумерной фильтрации получаем аналогичный результат. В разд. 5.4 эти виды приближений и предельные теоремы будут рассмотрены дополнительно.

Интересно сравнить (5.17) с дисперсией арифметического среднего случайных величин:

Сходство (5.17) и (5.18) бросается в глаза. Для нормальных процессов с неотрицательными значениями корреляции

Таблица 5.1. Относительные значения дисперсии для нормальных авторегрессионных процессов AR(1)

получаем при больших используя (5.17), (5.18) и тот факт, что

(Этот результат справедлив также для двумерной фильтрации.) Таким образом, для нормальных процессов с неотрицательными значениями корреляции дисперсия медианы почти на 57% больше дисперсии арифметического среднего. Для процессов с отрицательными и положительными значениями корреляции значения отношений дисперсий (5.20) могут быть намного больше . Это иллюстрируется в табл. 5.1, где представлены значения отношений дисперсий для нормальных авторегрессионных процессов первого порядка с

В работе [5.10] сообщается о результатах, полученных путем моделирования на ЭВМ нормальных процессов , которые показывают, что значения отношений, приведенные в табл. 5.1, приблизительно верны и для малых кроме случая Для значение этого отношения оказалось равным 14,9.

5.2.3. Импульсный и точечный шумы

Под импульсным шумом понимаем искажение сигнала импульсами, т. е. выбросами с очень большими положительными или отрицательными значениями и малой длительностью. Медианная фильтрация хорошо приспособлена для подавления такого шума [5.5, 5.8] при условии, что размер апертуры фильтра должен быть выбран по крайней мере в два раза больше ширины импульса. В этом случае импульсы шума, которые достаточно удалены друг от друга, будут полностью убраны медианным фильтром. Однако импульсы, расположенные близко друг к другу, могут сохраняться.

При обработке изображений импульсный шум возникает, например, вследствие ошибок декодирования, которые приводят к появлению черных и белых точек на изображении. Поэтому его часто называют точечным шумом. Выбросы шума особенно заметны на очень темных или очень светлых участках изображений. Для

таких участков можно вывести несколько несложных формул для вероятности правильного воспроизведения. Рассмотрим две модели. В первой модели все выбросы шума имеют одинаковое значение, во второй шум принимает значения, выбранные случайно из всего диапазона от черного до белого.

Импульсный шум. Модель 1. Появление выброса шума в каждой точке изображения имеет вероятность и не зависит ни от наличия шума в других точках изображения, ни от исходного изображения. Искаженная точка приобретает стабильное значение (т. е. значение черного). Пусть — искаженное изображение. Тогда

где — значения неискаженного изображения.

Предположим теперь, что точка расположена на участке с постоянным значением исходного изображения [по крайней мере в окрестности А с центром в ], т. е.

Применим к медианный фильтр с апертурой А

Тогда значение выходной величины будет верным, т. е. в том и только в том случае, если число выбросов шума в пределах апертуры А с центром в меньше половины числа точек в А, т. е. меньше или равно , где — размер апертуры А. Из того, что число искаженных точек в апертуре имеет биномиальное распределение, вытекает следующий результат:

Значения для различных значений пир приведены в табл. 5.2. Видно, что если вероятность ошибки не очень велика

Таблица 5.2

Вероятность ошибки при фильтрации импульсного шума,

Рис. 5.4. Фильтрация изображений с импульсным шумом: а, б 1 — изображения на входе с шумами модели 1 и модели 2 при вероятности ошибки — изображения, подвергнутые медианной фильтрации; — изображения, подвергнутые фильтрации с помощью скользящего усреднения

(скажем, не более 0,3), то медианная фильтрация с достаточно малой апертурой значительно снизит число ошибок. Фильтр с большой апертурой подавит шум в еще большей степени, но он также исказит и сигнал. Результаты медианной фильтрации импульсного шума иллюстрируются на рис. 5.4 а.

Импульсный шум. Модель 2. Эта модель отличается от модели 1 только тем, что искаженные точки приобретают случайные, а не фиксированные, значения Предполагается, что они являются независимыми случайными величинами с равномерным распределением на непрерывном интервале Итак,

Для получения простой формулы предположим, что неискажен ное изображение является полностью белым (или полностью черным) в окрестностях (или ). Это сути наиболее сложный случай для медианного фильтра, так все ошибочные значения попадают по одну и ту же сторону от

правильного значения. Вероятность правильного воспроизведения совпадает с в (5.25), но кроме того, значения неисправленных ошибок уменьшаются. Математическое ожидание выходных величин и оставшихся выбросов шума определяется формулами:

Доказательство. Пусть — число ошибок в апертуре А с центром в распределенное по биномиальному закону. Условное распределение медианы в при равном такое же, как и распределение медианы где число нулей равняется независимые и равномерно распределенные на интервале числа. Далее имеем

где означает порядковую статистику

Окончательно имеем

На последнем шаге мы использовали значение математического ожидания порядковых статистик равномерного распределения (см., например, [5.3, гл. 3]).

Случай проиллюстрирован на рис. 5.46. Согласно приведенным формулам доля искаженных точек должна уменьшиться с до и математическое ожидание ошибки — с до [согласно (5.28)]

Результат фильтрации хорошо согласуется с этими оценками. Как видно из рис. 5.4, скользящее усреднение плохо приспособлено к фильтрации импульсного и точечного шумов. Некоторые фильтры, предназначенные для подавления точечного шума, были

предложены в [5.11]. Мы не сравнивали эти фильтры с медианным фильтром.

Одним из шумов, похожих на импульсный, является шум про падания строк, который появляется при пропадании или искажении целых строк в процессе сканирования изображений Медианный фильтр с прямоугольной апертурой ( точек на строках) будет, как и в случае импульсного шума, уменьшать число ошибок. Предположим, что искажение строк происходит независимо для разных строк с вероятностью и что все элементы искаженной строки приобретают одинаковое значение Тогда вероятность правильного воспроизведения будет равна Заметим, что здесь означает число строк в прямоугольной апертуре. С точки зрения вычислений простейшей апертурой является апертура с но иногда могут оказаться более выгодными большие значения .