5.1. Определение медианных фильтров

5.1.1. Одномерные медианные фильтры

Медианой последовательности — нечетное, является средний по значению член ряда, получающегося при упорядочении последовательности по возрастанию. Для четного определим медиану как среднее арифметическое двух средних членов. В литературе можно найти другие определения, но поскольку они мало отличаются друг от друга и в большинстве интересующих нас случаев нечетное, мы не будем возвращаться к этому в дальнейшем. Обозначим медиану следующим образом:

Например: медиана

Медианный фильтр последовательности длиной для нечетных определяется как

где и Z обозначает множество всех натуральных чисел. Будем использовать также термины скользящая медиана и текущая медиана.

Легко видеть, что медианный фильтр сохраняет перепады, тогда как соответствующая фильтрация путем вычисления скользящего среднего

превращает перепад в пологий скат шириной (см. гл. 6).

5.1.2. Двумерные медианные фильтры

Будем считать, что цифровые изображения представляются набором чисел на квадратной решетке где изменяются по 22 или некоторому подмножеству .

Двумерный медианный фильтр с апертурой А для изображения определяется как

Можно использовать различные формы апертур А фильтра, например, линейные сегменты, квадраты, круги, кресты, квадратные рамки, кольца. Некоторые из них показаны на рис. 5.2. Форма «колец» на рис. 5.2, е была выбрана так, чтобы число точек в

Рис. 5.2. Апертуры фильтра: a, б — линейные сегменты, в — крест, г — квадрат, д — квадратная рамка, е — круги и кольца, ж — квадраты и квадратные рамки

каждом кольце было приблизительно пропорционально площади соответствующего правильного кольца.

Приведенные определения медианных фильтров не объясняют способа нахождения выходного сигнала вблизи конечных и пограничных точек в конечных последовательностях и изображениях. Один из простых приемов, которые использовались в рассматриваемых ниже экспериментах, состоит в том, что нужно находить медиану только тех точек внутри изображения, которые попадают в пределы апертуры. Поэтому для точек, расположенных рядом с границами, медианы будут определены, исходя из меньшего, чем в А, числа точек.

5.1.3. Сохранение перепадов

Под изображением перепада понимаем изображение, в котором точки по одну сторону от некоторой линии имеют одинаковое значение , а все точки по другую сторону от этой линии — значение

Следующие результаты представляют фундаментальное свойство медианных фильтров. Если апертура А симметрична относительно начала координат и содержит его в себе, т. е. если

то тогда медианный фильтр (5.4) сохраняет любое изображение перепада. Подробное обсуждение эффектов медианной фильтрации других детерминированных сигналов, отличных от простого перепада, читатель может найти в гл. 6. Условия (5.5), (5.6) выполняются для всех апертур рис. 5.2, кроме квадратной рамки и колец, которые не содержат начала координат. Тем не менее квадратные рамки и кольца будут лишь незначительно изменять перепад.

Точно так же будут вести себя и фильтры с другой формой апертуры, для которых выполняются условия (5.5), (5.6). Эти условия означают, что число точек в А является четным.