5.6.4. Порядковые статистики общего вида

Для чисел порядковая статистика определяется как по значению число из данных . В частности, медиана Фильтрация со скользящими порядковыми статистиками осуществляется аналогично

медианной фильтрации: апертура скользит по изображению и подсчитывается порядковая статистика значений внутри апертуры. Такие фильтры также называются процентильными фильтрами.

Скользящие порядковые статистики могут быть использованы для сжатия, сужения и растяжения (расширения) объектов в изображении (эрозия и расширение). Они применялись, например, к клеточным изображениям [5.14]. Для сжатия используется например, а для расширения — например, Для т. е. для медиан, средний уровень изображения не меняется. Сжатие и расширение часто осуществляются путем сравнения исходного изображения с порогом и последующего применения скользящих решающих правил типа из Заметим, что фильтрация с помощью скользящих порядковых статистик при последующем сравнении с порогом дает точно такие же результаты. Промежуточное изображение может содержать значимую полезную информацию. На рис. 5.15 показана фильтрация с апертурой

Статистическая литература по порядковым статистикам огромна. Большинство представленных выше результатов по медианам имеют аналоги для порядковых статистик общего вида [5.3, 5.10]. Для входного сигнала с белым шумом могут быть получены как точное, так и асимптотическое распределения, тогда как для небелого шума имеются только асимптотические. Однако предельное поведение экстремальных порядковых статистик [для или 1, например, различно по своей природе. В частности, предельные распределения не являются нормальными.

Рис. 5.15. Утоныпение объектов: а — изображение на входе; б — результат фильтрации в — результат сравнения б с порогом, равным 4; г — результат сравнения исходного изображения с порогом, равным 4; д — результат фильтрации 2 - из 9 изображения (см. скан)

Для скользящих порядковых статистик — стационарных, удовлетворяющих условию перемешивания процессов при достаточно отличающихся от 0 и 1, — среднее выходного сигнала приблизительно равно - процентилю маргинальной функции распределения величин где , т. е.

а автоковариационная функция асимптотически равна

т. е. сходна с (5.53) для медиан. С помощью (5.90) можно оценить, насколько изменится средний уровень последовательности или изображения. Формула (5.91) показывает, что скользящие порядковые статистики дают сглаживающий эффект, если значение не слишком близко к 0 или 1.

Хейгстер [5.14] исследовал эмпирические передаточные функции (ср. подразд. 5.4.3) для скользящих порядковых статистик. Если значение не слишком близко к 0 или 1, эти функции похожи на передаточные функции медианных и частотные характеристики низкочастотных линейных фильтров, но для близких к 0 или 1, они не являются гладкими даже на низких частотах.

Признательность. Автор хотел бы поблагодарить проф. Б. Розе и д-ра Т. Орхауга за полезные обсуждения а процессе этой работы, а также Гуниллу Джонсон за подготовку иллюстраций.