5.4.3. Отклик на косинусоидальные функции

Для описания фильтров часто используют их импульсную реакцию, отклик на ступенчатую функцию и частотные характеристики. Так как медианный фильтр стирает импульсы и сохраняет перепады, импульсная реакция равна 0, а отклик на ступенчатую функцию равен 1. В данном подразделе мы найдем энергетический спектр результата фильтрации косинусоидальных колебаний медианного фильгра при Сначала рассмотрим фильтрацию в непрерывном времени. Пусть для

Легко увидеть (см. рис. 5.9 а), что

где Так как — четная периодическая функция с периодом Т, выражение (5.58) определяет для всех Дисперсию можно найти прямым интегрированием

Можно разложить в ряд Фурье с коэффициентами

Простой подсчет дает

Рис. 5.9. Медианная фильтрация косинусоиды при : а — непрерывное время, б — дискретное время, период медиана

Заметим, что - спектральная плотность на частотах полная энергия спектра. На рис. 5.10 а показаны как функции для Осоол, а также зависимости для соответствующего -точечного скользящего среднего (для линейных фильтров ).

Видно, что для низкочастотной косинусоидальной функции на входе или скользящая медиана и скользящее среднее имеют сходные характеристики, тогда как при для медианы увеличиваются, а при они достигают того же значения, что и при . Это объясняется тем, что -точечный медианный фильтр сохраняет форму последовательности но сдвигает ее на один шаг.

В дискретном времени выбор нуля в качестве фазового сдвига в (5.56) достаточно произволен. Если же сдвиг фазы 0 считать случайным и имеющим равномерное распределение на интервале получаем стационарный процесс

и выход медианного фильтра (см. рис. 5.96) будет иметь те же ковариационные свойства, что и в непрерывном времени (5.57). Энергетический спектр последовательности на входе медианного фильтра получается из (5.60) путем сложения спектральных плотностей для на интервале . Для значений которые укладываются в целое число раз, это может привести к перекрытию спектральных плотностей, но независимо от этого можно рассматривать как спектральную плотность на частоте

Мы провели аналогичный анализ для медианных фильтров при Результаты представлены на рис. Вывод формул был достаточно громоздким. Результаты согласуются с экспериментами

Рис. 5.10. Фильтрация косинусоиды. Дисперсия спектральная плотность на частоте для косинусоиды, подвергнутой медианной фильтрации, и дисперсия для косинусоиды, подвергнутой фильтрации с помощью скользящего усреднения

Рис. 5.11. Сечение эмпирической «передаточной функции» для изображения , подвергнутого медианной фильтрации (воспроизведено из [5.14, рис. 3.6] с любезного разрешения автора)

на моделях, проведенными в [5.13]. При спектральные характеристики скользящих медиан и скользящих средних одинаковы. В случае произвольного это будет верно при Для больших значений результаты могут быть получены численным интегрированием (5.59 а) и (5.60), в которых определяется (5.57).

Двумерная медианная фильтрация с квадратными апертурами косинусоидального сигнала вдоль оси абсцисс точечного растра дает такие же значения дисперсии и спектральные компоненты, как показано выше.

Медианные фильтры нелинейны, поэтому описанные частотные отклики для одиночных косинусоидальных функций не соответствуют передаточным характеристикам для произвольных сигналов, являкзщихся суммой косинусоидальных функций. Хейгстер [5.14] подсчитал эмпирические частотные характеристики как отношение преобразований Фурье выходных и входных изображений. Пример для медианного фильтра с апертурой приведен на рис. 5.11. На нем показано сечение частотной характеристики, являющейся функцией двух переменных, вдоль одной из координатных осей. Заметим, что для частот кривая является очень гладкой и можно интерпретировать как частотную характеристику, тогда как для кривая становится резко нерегулярной из-за интерференции различных частот. Разумеется, такие частотные характеристики зависят от выбираемых входных изображений. Результаты Хейгстера подтверждают отмеченное выше сходство частотных характеристик скользящих медиан и скользящих средних для частот или