5.4.2. Ковариационные функции при небелом шуме на входе

Дать общие точные формулы для автоковариационной функции отфильтрованного медианным фильтром небелого шума не представляется возможным. Мы приведем здесь некоторые приближенные формулы, которые были получены в [5.10] при рассмотрении предельных результатов, когда размер апертуры стремится к бесконечности. Эти формулы удивительно хорошо работают и для апертуры с малыми размерами. Подробный вывод читатель может найти в [5.10].

Допустим, что - стационарная перемешанная последовательность с маргинальной функцией распределения и плотностью распределения Имеем

«Обращенном» (5.49) можно получить следующую приближенную формулу представления (представления Бахадура) для больших

где . Таким образом, скользящая медиана ведет себя как скользящее среднее знаковой функции элементов последовательности (результата их жесткого ограничения). Теперь, вычислив функцию ковариации скользящего среднего в правой части (5.50), можно получить приближенную формулу функции ковариации для последовательности, подвергнутой медианной фильтрации:

где . Для нормального шума с ковариационной функцией значения могут быть подсчитаны точно. Пользуясь этим и произведя небольшую модификацию, упомянутую в подразд. 5.2.1, получаем

В [5.10] мы проверили точность приближения (5.52) для нормального белого шума и нормальных процессов Для входных процессов с нулевыми положительными (или не очень большими отрицательными корреляциями) точность будет хорошей даже при очень малых значениях . С другой стороны, для процесса с функцией корреляции погрешность велика.

Скользящая медиана почти не сглаживает процессы, ведущие себя на больших интервалах, как функции вида . В самом деле, форма входной последовательности будет оставлена медианным фильтром без изменений, хотя для некоторых значений она сдвинется на один шаг (см. гл. 6). В противоположность этому скользящее усреднение оказывает большое сглаживающее действие на подобный процесс, так как регулярные флуктуации значений х полностью уничтожаются. В целом можно ожидать, что приближенные формулы ковариационных функций скользящих медиан будут полезны только для последовательностей, на которые медианные фильтры действуют так же. как и скользящее усреднение. Так, в случае с сильно осциллирующими последовательностями и последовательностями перепадов большой пользы от них ждать не следует. Теперь можно объяснить сходство между корреляционными свойствами медианных фильтров и скользящего усреднения. Для больших можно аппроксимировать формулой

которая асимптотически верна для всех скользящих средних, хотя и с разными константами. Таким образом, они имеют одинаковую нормализованную корреляционную функцию, но могут иметь разные асимптотические значения дисперсий.

В подразд. 5.2.2 упоминалось, что медианы по большим апертурам имеют приблизительно нормальное распределение. Это можно доказать, используя представления Бахадура и применяя центральную предельную теорему для стационарных перемешанных процессов в правой части (5.50). Описанные идеи можно также применить к двумерной медианной фильтрации. В этом случае мы получаем следующее представление Бахадура:

где размер апертуры А. Для нормального шума соответствующее приближение ковариационной функции будет иметь вид

Для некоторых апертур (5.55) можно еще упростить.