6.1. Стабильные точки одномерных медианных фильтров

Обозначим одномерный медианный фильтр с шириной апертуры через , т. е. определим соотношение вход-выход как где

Предполагается, что последовательности продолжаются бесконечно в обе стороны. Имеется относительно немного хорошо известных свойств медиан, которые могут быть непосредственно полезны нам. Начнем с рассмотрения двух из них.

Свойство 1. Если то

Свойство 2. Если монотонна, то

Для медианного фильтра, определенного по формуле (6.1), из свойства . можно сделать вывод, что монотонная последовательность , т. е. последовательность с для всех инвариантна к медианной фильтрации с произвольной шириной апертуры. Например, ступенчатая функция является монотонной последовательностью, поэтому она инварианта к медианной фильтрации. Если считать перепад в идеальном случае ступенчатой функцией, то очень просто объяснить, почему после медианной фильтрации перепады сохраняются. Монотонные последовательности являются всего лишь простейшими стабильными точками медианных фильтров. Их обобщение дает более важный класс стабильных точек, который будет обсуждаться в этом разделе. Из свойства 2 вытекает, что, поскольку рассматриваются только медианы, масштаб значений последовательностей не играет роли. В самом деле, исходную последовательность данных можно свести к бинарной последовательности, без потери какой-либо информации о медианах, путем введения последовательности такой, что для всех где

Очевидно, что является стабильной точкой медианного фильтра тогда и только тогда, когда является его стабильной точкой для всех а. Это свойство позволяет значительно упростить входную последовательность данных и будет особенно полезно при рассмотрении двумерных последовательностей.

Как указывалось выше, монотонные последовательности — это стабильные точки медианных фильтров с произвольной шириной окна. Однако требование абсолютной монотонности является необязательным. Поскольку медианный фильтр имеет фиксированные и конечные размеры апертуры, интуитивно ясно, что монотонность должна сохраняться только в пределах каждого сегмента, совпадающего по размерам с апертурой. На самом деле это требование можно ослабить еще сильнее.

Определение. Последовательность является локально-монотонной на отрезке если монотонна для каждого

Очевидно, что является также если Допустим, что есть . Тогда последовательности то имеем для всех откуда вытекает, что Следовательно, локально-монотонные последовательности могут быть иначе определены при помощи леммы.

Лемма 6.1. Если имеется какое-нибудь изменение в общем направлении, то -последовательность должна оставаться постоянной хотя бы для членов.

Используя функцию уровня определенную ранее, можно легко показать, что последовательность является

если при всех а выходной сигнал остается равным 1 или 0 хотя бы для членов.

Получаем теорему, касающуюся локально-монотонных последовательностей и медианной фпльтрацим.

Теорема 6.1. ЛOMO -последовательность инвариантна к для всех

Доказательство. Рассмотрим сегмент который либо монотонен, либо внутри него общее направление меняется, оставаясь постоянным на субсегментах (см. лемму 6.1). В первом случае медиана элементов этого сегмента, очевидно, равна во втором субсегмент, имея длину не менее должен содержать х. Следовательно, найдется по крайней мере элементов в сегменте, равных , таким образом, медиана также должна быть равна

Хотя последовательности инвариантны к обычно они не исчерпывают собой набор стабильных точек Было установлено, что эти стабильные точки относятся к Двум совершенно разным категориям. Последовательности рассмотренные выше, образуют первую категорию. Теоремы 6.2 и 6.3 характеризуют эти две категории и показывают различия между ними. Доказательства теорем приведены в приложении

Теорема 6.2. Если является стабильной точкой и имеется монотонный сегмент длиной тогда является ЛОМО .

Эта теорема говорит о том, что если стабильная точка является достаточно гладкой [т. е. монотонной для сегмента длиной то она является гладкой по всей длине [т. е. является

Определение. Последовательность нигде не является гладкой [назовем такую последовательность если она не содержит монотонного сегмента длиной

Теорема 6.3. Если является стабильной точкой она является НЕЛОМО , то -бинарная последовательность, т. е. может принимать только два значения.

Теорема 6.3 представляется несколько неожиданной в теории медианных фильтров, и следствия из нее будут обсуждаться позднее. Для каждого медианного фильтра будем относить стабильные точки, описываемые теоремой 6.2, к точкам первого типа и точки, описываемые теоремой 6.3, — ко второму типу.

Поскольку любой сегмент, состоящий из двух отсчетов, является монотонным, то по теореме 6.2 любая стабильная точка является ЛОМО(3). Для не имеется стабильных точек второго типа. Однако для медианных фильтров с размером апертуры больше 3 стабильные точки второго типа существуют. Ниже описан метод получения некоторых из них.

Рассмотрим периодическое продолжение последовательности

где или —1. Очевидно, что эта последовательность является стабильной точкой Если монотонна, то эта юследовательность есть , следовательно, она принадлежит к стабильным точкам первого типа. Если не йонотонна, то легко увидеть, что эта последовательность есть , следовательно, она принадлежит к стабильным дочкам второго типа. Этот метод позволяет получить стабильные точки для но для он не справедлив. Например, периодическое чередование 1, 1, —1, —1 является стабильном точкой второго типа для но ее период равен 4, а не 10, как требуется в (6.3). Остается невыясненным, все ли стабильные точки второго типа периодические. Так как стабильные точки второго типа для двузначны и имеют тенденцию колебаться быстрее [будучи НЕЛОМО , чем стабильные точки первого типа их можно считать нежелательными с точки зрения сглаживания последовательностей. Действительно, если отрезок последовательности данных является бинарной и быстро колеблющейся последовательностью, нахождение медианы а конечном счете .мало что дает. Поэтому интересно рассмотреть те обобщенные медианные фильтры, которые являются сглаживающими, построенными на простых медианах, но, если это нужно, ведут себя при наличии стабильных точек второго типа или бинарных быстро колеблющихся последовательностей как линейные фильтры. Прежде чем мы остановимся на получении таких обобщенных медианных фильтров, приведем теорему, обратную теореме 6.1.

Теорема 6.4. Если последовательность инвариантна к для всех то она является

Доказательство. По теореме 6.2 и с учетом того факта, что любая последовательность является стабильная точка для т. е. для должна быть Предположим, что теорема верна для Тогда последовательность которая инвариантна к для всех должна быть следовательно, каждый сегмент длиной монотонен. Согласно теореме 6.2 последовательность является

В [6.2] отмечено в частном случае, каковы возможные соотношения между и в теореме 6.1. В работе [6.5] также описано соотношение между , кроме того, показано, что стремится создать плоские верхушки (или впадины) длиной что очень характерно для последовательностей (см. лемму 6.1).

До сих пор мы рассматривали только двусторонние бесконечные последовательности; для последовательностей с конечной длиной в [6.6, 6.7] были использованы несколько определений концевых точек. Например, для мы можем уменьшать размер апертуры на 2 для каждого шага по направлению к концу последовательности, как только центр апертуры окажется только на отсчетов от ее конца [6.7]. При таком определении теоремы 6.1 и 6.2 остаются справедливыми, однако, теорема 6.3 нуждается в

незначительном изменении для концевых точек. Но так как это ничего не дает для понимания проблемы, мы не будем на нем останавливаться.

Была замечена очень тесная связь между медианными фильтрами и их стабильными точками. Начнем с рассмотрения этой связи для стабильных точек первого типа. Локально-монотонные последовательности обладают некоторым типом гладкости, выражающейся в монотонности. Возьмем в качестве примера последовательности в пределах сегмента из последовательных отсчетов не допускается никаких изменений, или, что то же самое, для любого изменения сигнала он должен оставаться постоянным в течение следующих отсчетов, а между плоскими участками сигнал является монотонным. Это исключает возможность появления изолированных пиков или выбросов с длительностью, меньшей или равной Согласно работе [6.7] они не имеют должной поддержки и медианные фильтры с размером апертуры, большим или равным способны устранять их. С другой стороны, разрывы в виде перепадов допускаются независимо от перепада, поскольку сигнал локально-монотонен, и следующий перепад, который, по предположению, будет иметь противоположное направление, не может встретиться в пределах

— 1) отсчетов. Точно так же медианные фильтры с размером апертуры, меньшим или равным способны сохранить их. Конечно, не все свойства ЛОМО-последовательностей полезны. Например, плоские участки, которые неизбежны для любого изменения в ЛОМО-последовательностях, могут оказаться нежелательными, а медианная фильтрация имеет тенденцию создавать большое их число [6.6, 6.8]. Так как требуется только локальная монотонность, сигналы такого рода локально не должны быть полиномами малого порядка. Это непосредственно подтверждается медианной фильтрацией зашумленного пилообразного сигнала. Выходной сигнал фильтра будет больше напоминать лестницу с регулярно расположенными ступеньками, чем пилообразную кривую. Интуитивно понятно, что медианной фильтрацией можно восстановить только монотонность, но не линейность или другие свойства полинома низкого порядка, присущие сигналу [6.7, 6.9]. В этом случае можно рекомендовать после медианной фильтрации использовать симметричные линейные сглаживающие фильтры с малой апертурой. Малые апертуры выбираются во избежание искажений на перепадах. Что касается плоских участков, образованных при медианной фильтрации, то искаженный сигнал может быть частично восстановлен с помощью специальной процедуры огрубления [6.6-6.8].

Мы обсудили преимущества и недостатки медианной фильтрации, исходя из характеристик локально-монотонных последовательностей, которые являются также стабильными точками первого типа. Теперь рассмотрим стабильные точки второго типа. Представляется, что стабильные точки второго типа — это последовательности фиксированной формы, которые редко встречаются

в отрезках реальных сигналов. Однако возможно, что части последовательности данных быстро флуктуируют, принимая два значения. Если требуется восстановить взвешенное среднее каждой части, то медианные фильтры вряд ли будут пригодны. Здесь опять после медианной фильтрации можно использовать симметричные линейные сглаживающие фильтры с малой апертурой. Однако нас больше ннтересуют нелинейные сглаживающие фильтры, которые строятся на простых медианных фильтрах и не имеют таких стабильных точек второго типа. Основная причина интереса к нелинейным сглаживающим фильтрам состоит в том, что они сохраняют перепады. Этому посвящен разд. 6.2.