5.5. Некоторые другие фильтры, сохраняющие перепады
Рассмотрим фильтры, которые имеют такие же основные свойства, как и медианные: свойства сохранения перепадов и подавления шума. Все фильтры, за исключением тех, которым посвящена последняя часть раздела, являются вариантами медианных фильтров. Описанные выше медианные фильтры здесь будут называться простыми медианными фильтрами. Формулы дисперсии для выхода фильтров даны для белого шума на входе.
5.5.1. Линейная комбинация медиан
Пусть 
- различные апертуры. Тогда фильтр, полученный с помощью линейной комбинации медиан [5.15, 5.16], определяется следующим образом:
где 
— вещественные коэффициенты. Апертуры могут быть, например, квадратами со стороной 
или окружностями с диаметром 
Можно, разумеется, также выбрать наборы апертур, которые не включают начало координат, например, квадратные рамки или кольца (см. рис. 5.2).
Если все апертуры 
симметричны относительно центра координат и содержат его по условиям (5.5), (5.6), тогда форма изображения перепада 
сохранится, а высота перепада изменится в 
Это следует из того, что каждая медиана в комбинации сохраняет перепад. Заметим, что если 
то 
Для нормального белого шума 
на входе можно вычислить дисперсию 
используя результаты подразд. 5.4.1:
где 
обозначает то же, что и в подразд. 5.4.1, а 
— число точек в апертурах 
соответственно. В табл. 5.4 приведены необходимые значения 
для случаев, когда апертуры имеют форму квадратов, колец и квадратных рамок. В двух последних случаях апертуры не перекрываются и для них формула дисперсии упрощается:
Другйк способом выяснить поведение линейной комбинации медианных фильтров является использование сходства многих свойств простых медианных фильтров и скользящего усреднения.
Если заменить каждую медиану в (5.66) средним арифметическим тех же величин х, получим линейный фильтр
Легко подсчитать моменты второго порядка для этого фильтра. Они дают по крайней мере некоторую информацию о свойствах соответствующего медианного фильтра. Можно также вернуться назад, начать с линейного фильтра с требуемыми свойствами и построить соответствующую линейную комбинацию медианных фильтров. Это особенно просто, если апертуры взаимно не перекрываются (как например, квадратные рамки или кольца).
