Приложение 6.Б

В приложении доказывается теорема 6.5, а также показано, что эта теорема является частным случаем некоторых свойств класса более общих сглаживающих операторов, аналогичных Сначала рассмотрим этот класс в общем виде.

Если положить, что где Т — оператор, и — медиана то существуют три условия возрастающей строгости, которые можно наложить на Т:

Другими словами, если то содержится соответственно в I) закрытом интервале между во II) полуоткрытом интервале, исключая или в III) открытом интервале. Например, удовлетворяет только I), но не III), и удовлетворяет III). обозначает здесь только тождественный оператор. Имеем простую лемму.

Лемма Предположим, что Т удовлетворяет I). Если монотонна, то также монотонна.

Доказательство очевидно и по этой причине опущено. Ясно, что последовательности являются стабильными точками любого Т, удовлетворяющего I). Следующая лемма показывает, что некоторые свойства сохраняются для линейной комбинации или последовательного включения двух сглаживающих фильтров.

Лемма Пусть и пусть -составной сглаживающий фильтр,

Тогда: а) если удовлетворяют I), то и удовлетворяют I); б) если удовлетворяет II) и удовлетворяет I), то удовлетворяет II); в) если удовлетворяет III) и удовлетворяет I), то удовлетворяет III) и удовлетворяет II); кроме того, если также удовлетворяет III), то удовлетворяет III).

Замечание: даже если и Г] и удовлетворяют II), то составной фильтр может не удовлетворять II).

Доказательство. Доказательство для случая выпуклой комбинации тривиально, поэтому рассмотрим только случай составного фильтра. Пусть

Если то монотонна, согласно лемме отсюда Если скажем, то рассмотрим а) и в) отдельно.

а) имеем Так как медиана

находится между которые, в свою очередь, находятся между то содержится в сегменте между

в) имеем или или Следовательно, или а медиана которая находится между расположена в полуинтервале Таким образом, Если Т? удовлетворяет также III), то

Выше было указано, что удовлетворяет II). В самом деле, для любого сглаживающего фильтра, удовлетворяющего И), единственными стабильными точками являются последовательности ЛОМО (3).

Лемма 6.6.3. Если Т удовлетворяет II) и если -стабильная точка для Т, то она является последовательностью

Доказательство. Если не есть то существует такое, что скажем, По предположению, Т удовлетворяет II), таким образом где Это противоречит допущению, что — стабильная точка для Т. Для составных сглаживающих фильтров имеем лемму.

Лемма Пусть пусть -стабильная точка Т. Тогда: если удовлетворяет II) и удовлетворяет I), то является или последовательностью или. осциллирующей последовательностью (т. е. является последовательностью если удовлетворяет III). Вышеизложенные результаты справедливы для

Доказательство. Используем обозначения, введенные при доказательстве леммы Предположим, что — стабильная точка Т, но не Тогда существует такое, что упфхп. Предположим, что

а) Если Т удовлетворяет II), то Для того чтобы выполнялось мы должны иметь медиана или

Отсюда следует, что Поэтому

Так как то последовательность может быть монотонной, что справедливо также и для

Согласно вышеизложенному таким образом, должна быть осциллирующей последовательностью. Если вместо этого удовлетворяет I) и удовлетворяет II), тогда последовательность не может быть монотонной: в противном случае также монотонна, что противоречит допущению Если медиана то что не может быть, так как — стабильная точка для Т. Поэтому имеем медиану и отсюда Это означает, что является осциллирующей последовательностью.

б) Если удовлетворяет III) и удовлетворяет I), то, согласно лемме 6.Б.2 в), удовлетворяет II) и, согласно лемме 6.5.3, ее стабильной точкой является только последовательность Если же вместо этого Т удовлетворяет I) и удовлетворяет III), то последовательность не может быть монотонной, иначе монотонна, что противоречит предположению о том, что Если медиана тогда что невозможно, так как стабильная точка. Наконец, если медиана то имеем медиаиа что снова противоречит гипотезе о стабильных точках. Поэтому можно сделать вывод, что должна быть последовательностью

Замечание. Как отмечалось выше, стабильными точками последовательностей являются только последовательности

Однако непосредственное применение леммы показывает, что стабильными точками который можио представить как могут быть как осциллирующие последовательности, так и последовательности Можно легко проверить, что осциллирующие последовательности являются стабильными точками если — четное. При нечетных к стабильными точками являются только последовательности Таким образом, осциллирующие последовательности являются единственными рекуррентными точками

Так как осциллирующая последовательность обычно считается достаточно негладкой, бессмысленно использовать или в качестве единственного сглаживающего фильтра при сглаживании. Ниже мы рассмотрим простой способ, который может избавить нас от этих нежелательных последовательностей. Сначала нам понадобится лемма.

Лемма Пусть и пусть удовлетворяют 1). Тогда — стабильная точка для если она является стабильной точкой для одновременно.

Доказательство. Тривиально.

Объединяя лемму с замечанием к лемме имеем.

Лемма 6.Б.6. Пусть Тогда последовательности являются стабильными точками сглаживающего фильтра

только для некоторых нечетных Если же при всех нечетных то единственными стабильными точками для Т являются как осциллирующие последовательности, так и последовательности Чтобы получить стабильные точки для достаточно представить как

Если - стабильная точка для то согласно леммам и предположению, что она должна быть либо последовательностью либо осциллирующей последовательностью. Можно проверить, что осциллирующая последовательность не может быть инвариантна к пока для всех четных и или для всех нечетных Во втором случае она является стабильной точкой для 7.