6.2. Некоторые обобщенные медианные фильтры

Существует другой класс последовательностей, связанных с медианными фильтрами, которые нам следует изучить. Эти последовательности можно назвать рекуррентными точками (последовательностями). В общем, для нелинейного сглаживающего фильтра Т последовательность рекуррентна, если она является стабильной точкой при некотором 2, но не для Т. Здесь означает -кратное применение Т. Например, знакопеременная (осциллирующая) последовательность не является стабильной точкой тем не менее это — стабильная точка . В целом нам известно очень немного о рекуррентных последовательностях медианных фильтров. Несколько найденных нами примеров дают возможность предположить, что они должны быть бинарными, флуктуирующими и иметь фиксированную форму. Однако у нас нет математического доказательства правильности этих наблюдений. Если существование стабильных точек второго типа делает медианные фильтры бесполезными в качестве сглаживающих, то следует искать альтернативные пути, свободные от этих точек. Точно так же хотелось бы избежать и рекуррентных точек. В этом направлении получено не очень много результатов и некоторые из них, касающиеся даны ниже без доказательства. Детали можно найти в приложении

Теорема 6.5. Пусть Тогда стабильными точками сглаживающего фильтра

являются только -последовательности при для некоторых нечетных Если для всех нечетных то стабильными точками Т будут и последовательности и знакопеременные последовательности. Для стабильной точкой также должна быть или знакопеременные последовательности. Последние не могут быть инвариантны к если только не справедливо, что: а) для всех четных или для всех нечетных

С учетом приведенной теоремы сделать, чтобы знакопеременная последовательность не была ни стабильной, ни рекуррентной точкой, можно только, если рассматривать сглаживающий фильтр Т в (6.4) для, по крайней мере, четных и нечетных причем должны быть положительны. Например, вместо простого можно использовать , где тождественный оператор, или . В самом деле, оба они свободны от стабильных точек второго типа и рекуррентных точек. Далее можно показать, что верны следующие теоремы.

Теорема 6.6. Для последовательность сходится поточечно к (-последовательностям при .

Знакопеременные последовательности являются рекуррентными точками и стабильными точками второго типа для однако с помощью линейной комбинации можно от них избавиться.

Теорема 6.7. Пусть Тогда является стабильной точкой Т, если и только если она есть

Нетрудно показать, что стабильными точками сглаживающих фильтров, построенных посредством повторения выпуклых комбинации или соединения [т. е. или ] медианных фильтров с апертурой, меньшей или равной являются последовательности Но установить, имеют ли они другие стабильные точки, в особенности второго типа, достаточно сложно.

Для более полного понимания детерминированных свойств медианных фильтров или их обобщений, очевидно, необходимо пойти дальше простой теории стабильных точек. В [6.5] при изучении устойчивости медианных и связанных с ними нелинейных фильтров применялся иной подход к изучению сглаживающих свойств этих фильтров. Исследованные сигналы имели вид чистой синусоиды. Сначала брались отсчеты чистой синусоиды с нулевой фазой. Затем после выполнения медианной или другой нелинейной фильтрации вычислялись: мощность или амплитуда основной гармоники (которая имела частоту входного сигнала), а также нескольких первых гармоник (или их смеси). Тем самым можно определить мощность, пропускаемую фильтром на частоте входного сигнала, а также мощность, перешедшую к каждой из ее гармоник. Подобно передаточной функции по мощности линейной системы, для рассматриваемого нелинейного фильтра можно также построить график, отражающий часть мощности, переданной на входной частоте при чистой синусоиде с нулевой фазой на входе.

Хотя принцип суперпозиции к нелинейным фильтрам не применим, определение переданной мощности и мощности, перешедшей в гармоники, все-таки дает важную информацию о поведении и свойствах каждого нелинейного фильтра. Например, численные результаты в [6.5] показывают, что передаточные функции медианных

анных фильтров с апертурой, размеры которой — нечетные числа, имеют довольно большие боковые лепестки. Так, при частоте дискретизации 128 отсчет/с для МФ5 возникают большие боковые лепестки на частотах 32 и 64 Гц. Интересно, что это явление тесно связано с стабильными и рекуррентными точками Рассмотрим это подробнее.

Пусть выходной сигнал — дискретная синусоида с частотой и фазой Частота дискретизации равна Имеем

При

Без потери общности предположим, что Выходной сигнал

Таким образом, амплитуда, переданная на частоте Гц, равна при Введя случайную фазу с равномерным распределением, получим, что средняя переданная мощность равна

что дает значительный боковой лепесток в передаточной функции по мощности.

Внимательное рассмотрение выходного сигнала показывает, что это рекуррентная последовательность или стабильная точка Действительно, входной сигнал сам по себе является рекуррентной последовательностью при условии, что Поэтому совершенно ясно, почему на этой частоте будет возникать большой боковой лепесток.

Аналогично, при Гц входной сигнал т. е. он является знакопеременной последовательностью и потому будет стабильной точкой второго типа для Ясно, что и передаточная функция имеет на этой частоте пик, равный 1.

Для устранения нежелательных боковых лепестков было предложено использовать после Здесь ходной сигнал медиянного фильтра с апертурой, размеры которой являются четными числами, определяется выражениями:

где медиана четного числа отсчетов есть среднее двух центральных отсчетов. Следовательно, выходной сигнал равек

что также покрывает пять соседних отсчетов. В [6.5] показано, что передаточная функция по мощности такого составного фильтра имеет лепесток, равный —13,3 дБ вблизи Гц. С точки зрения сглаживания он работает гораздо лучше, чем простой фильтр Однако при этом ступенчатые функции уже не сохраняются. Фактически в значительной мере лишен свойства медианных фильтров сохранять перепады; как предложено в следует рассматривать, скорее, как на 25% сглаживающий усреднением фильтр, а не как представитель обобщенных медианных фильтров. Кроме того, — это фильтр, усредняющий каждые два соседних отсчета.

С другой стороны, в соответствии с нашей теорией стабильных точек, можно рассматривать среднее от

Для синусоиды с частотой Гц можно легко проверить, что для произвольного т. е. при Гц передаточная функция этого фильтра проходит через нуль. Аналогично, при Гц входной сигнал, который является знакопеременной последовательностью, есть стабильная точка и рекуррентная точка находя среднее между ними, мы опять-таки получаем нуль. Так как фильтр не имеет других стабильных точек, кроме последовательности для нас неважно, что он имеет некоторую рекуррентную точку, поэтому можно предположить, что боковые лепестки его передаточной функции будут гораздо меньше, чем Действительно, наш численный эксперимент это подтверждает. Он показывает, что максимальное значение бокового лепестка составляет 13 дБ при Гц, а следующее наибольшее значение равно —23,3 дБ при Гц.