5.4. Другие свойства медианных фильтров

В этом разделе рассматриваются ковариационные и спектральные свойства медианных фильтров. Полученные результаты показывают, что статистические характеристики второго порядка медиан очень похожи на соответствующие характеристики скользящих средних. Последняя часть раздела содержит некоторые результаты, касающиеся поведения выборочных функций на выходе медианных фильтров.

5.4.1. Ковариационные функции при белом шуме на входе

Ковариационные функции реализаций белого шума, отфильтрованных с помощью медианных фильтров, были рассчитаны Сначала были выведены формулы для распределения пар

порядковых статистик частично перекрывающихся выборок, после чего путем численного интегрирования по этим формулам были найдены ковариации. Формулы распределения были получены с помощью развития идей, использованных в подразд. 5.3.2. Поскольку эти формулы достаточно сложны, они здесь не воспроизводятся, а даются результирующие ковариационные функции для случая нормального белого шума на входе медианного фильтра.

Пусть -независимые случайные величины и

— ковариация медиан выборок длиной лите интервалом перекрытия Численные значения представлены в табл. 5.4 наряду с вероятностями равенства значений двух медиан в (5.43). Для перекрывающихся выборок, т. е. при мы, конечно, имеем Заметим также, что (медиана). Ковариация нормальных случайных величин равна Автоковариационная функция для выходной последовательности -точечного медианного фильтра, медиана при нормальном белом шуме на входе равна

где Ковариационная функция для и ковариационная функция трехточечного скользящего среднего показаны на рис. 5.7. Для произвольного и для белого шума на входе имеем

На рис. 5.7 видно, что похожи по форме, или, что то же самое, нормализованные функции корреляции подобны друг другу, но имеет большие значения, т. е.

Ковариационные функции для двумерных медианных фильтров можно выразить также через Для квадратной апертуры

Рис. 5.7. Ковариационные функции для -точечной скользящей медианы (жирные линии) и -точечного скользящего среднего (пунктирные линии) при нормальном белом шуме

Рис. 5.8. Ковариационная функция для двумерного медианного фильтра с квадратной апертурой при нормальном белом шуме

(кликните для просмотра скана)

Функция в первом квадранте для апертуры элемента показана на рис. 5.8. Значения функции в других квадрантах можно получить с учетом симметрии.

Сходство функций корреляции скользящей медианы и скользящего среднего до некоторой степени объясняется относительно высокой корреляцией между медианой и средним. Дополнительные объяснения даны в следующем подразделе. Если — независимые случайные величины с распределением , то

(см. [5.3, с. 31]). Используя (5.12), для больших получаем коэффициент корреляции