ГЛАВА 6. МЕДИАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ: ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СВОЙСТВА
(Ш. Г. Тян)
В данной главе на основе детерминированного подхода излагаются некоторые новые результаты, касающиеся свойств медианных фильтров. Наша цель — найти для каждого медианного фильтра специальный класс последовательностей, которые не изменяются под действием этого фильтра. Такие последовательности называются стабильными точками фильтра. Необходимость решения поставленной задачи может вначале показаться непонятной, поэтому следует сказать несколько слов об истории развития медианной фильтрации. Медианная фильтрация в том виде, в каком она была введена в [6.1], используется главным образом вследствие ее вычислительной простоты и нечувствительности к помехам,
имеющим распределение с тяжелыми хвостами. Затем обратили внимание на другое свойство медианных фильтров, а именно, на то, что действуя как сглаживающие фильтры, они в то же время могут сохранять крутые перепады, или контуры в сигналах. Эта способность сохранять края делает медианные фильтры удобными сглаживающими фильтрами, если в сигнале часто встречаются крутые перепады и их нельзя сматывать при сглаживании. То, что такие фильтры сохраняют перепады, равносильно утверждению, что перепады инвариантны к медианной фильтрации. Это — одна из причин, которая заставляет заниматься изучением стабильных точек медианных фильтров. Если стабильная точка имеет не удовлетворяющие нас характеристики, то для того чтобы она не появлялась на выходе медианного фильтра, может оказаться необходимым так модифицировать фильтр, что данная частная последовательность не будет стабильной точкой или что эти нежелательные свойства будут подавляться. Может также случиться, как в рассмотренных ниже примерах, что произвольный входной сигнал при повторной многократной медианной фильтрации будет сходиться к одной из стабильных точек фильтра. Следовательно, изучая стабильные точки, можно достичь хотя бы на качественном, если не количественном, уровне понимания работы медианного фильтра на входных последовательностях общего вида.
Характеристики стабильных точек одномерных медианных фильтров рассматриваются в разд. 6.1. Здесь показано, что эти точки можно разделить на две категории. Стабильные точки первой категории можно рассматривать как некоторые обобщенные монотонные последовательности. Ко второй категории относятся точки более специального вида. Затем результаты, полученные в одномерном случае, переносятся на двумерный, однако эта часть теории еще в значительной степени не завершена. В заключение обсуждается интересный алгоритм Хуанга и других [6.4] двумерной медианной фильтрации.
