10. КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пусть — скалярное поле. Тогда, как было показано в разд. 3, есть ковариантный вектор. Далее, пусть векторное поле. Является ли его производная тензором?

Чтобы ответить на этот вопрос, посмотрим, как преобразуется при преобразованиях координат. В обозначениях разд. преобразуется, согласно уравнению (3.5):

и, следовательно,

Это выражение является точным законом преобразования тензора, если в правой части отсутствует последний член. Значит, тензор. Можно, однако, модифицировать операцию дифференцирования так, чтобы получить тензор. Возьмем вектор в точке и сместим его посредством параллельного переноса в точку При этом А остается вектором. Вычтем его из вектора А в точке разность тоже является вектором. В первом приближении получим

Эта величина есть вектор для произвольного вектора следовательно, согласно теореме о частном (см. разд. 4), коэффициент является тензором. Легко проверить непосредственно, что при преобразованиях координат он преобразуется по тензорному закону. Это выражение называется ковариантной производной и записывается в виде

Знак перед нижним индексом далее будет обозначать ковариантную производную, подобно тому, как запятая обозначает обычную производную.

Пусть некоторый другой вектор. Определим ковариантную производную внешнего произведения как

Очевидно, что это тензор с тремя индексами. Его явный вид есть

Пусть тензор с двумя индексами. Он выражается в виде суммы членов вида тогда его ковариантная производная записывается так:

Это правило можно обобщить для случая ковариантной производной тензора с любым числом нижних индексов: -член для каждого индекса. (10.4)

В каждом из этих -членов нужно выполнить условие баланса индексов. Этого достаточно для однозначной расстановки индексов. Ковариантная производная скаляра получается из общей формулы (10.4) при нулевом числе индексов в У:

Применим (10.3) к фундаментальному тензору . С учетом (7.6) это дает

Таким образом, при ковариантном дифференцировании можно рассматривать как константу.

Формула (10.2) представляет собой обычное правило, используемое при дифференцировании произведения. Предположим, что это правило справедливо и для ковариантной производной скалярного произведения двух векторов. Тогда

Отсюда, согласно (10.5) и (10.1), получаем

следовательно,

Так как это справедливо для произвольного имеем:

что является стандартным выражением для ковариантной производной контравариантного вектора. Здесь возникает тот же символ Кристоффеля, что и в стандартной формуле (10.1) для ковариантного вектора, но со знаком плюс. Расположение индексов полностью определяется требованиями баланса индексов.

Этот формализм можно обобщить на случай ковариантной производной тензора с любым числом верхних и нижних индексов. -члены возникают для каждого индекса (со знаком плюс для верхнего и со знаком минус для нижнего индексов соответственно). Если свернуть два индекса, то соответствующие -члены сократятся.

Формула для ковариантной производной произведения

справедлива в самом общем случае для любых тензорных величин Поскольку при ковариантном дифференцировании ведет себя как константа, индексы можно поднимать и опускать до дифференцирования: результат будет тот же, что и при перемещении их после дифференцирования.

Ковариантная производная нетензорной величины не имеет смысла.

Физические законы должны быть справедливы во всех системах координат. Значит, они должны выржаться в виде тензорных уравнений. Если уравнения содержат производные полевых величин, то это должны быть ковариантные производные. Полевые уравнения получаются заменой обычных производных ковариантными. Например, уравнение Даламбера для скалярного поля V в ковариантной форме принимает вид

С учетом (10.1) и (10.5) это дает:

Даже если рассматривать задачу в плоском пространстве <(т. е. в пренебрежении гравитационным полем) и использовать криволинейные координаты, следует записывать уравнения в терминах ковариантных производных, чтобы они сохраняли свой вид во всех системах координат.