Главная > Общая теория относительности
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ

Из формулы для дифференцирования произведения (10.8) видно, что в этом отношении ковариантное дифференцирование вполне аналогично обычному. Однако важное свойство обычного дифференцирования, которое заключается в том, что при действии двух операторов дифференцирования их порядок не имеет значения, для ковариантного дифференцирования в общем случае не сохраняется.

Начнем с рассмотрения скалярного поля 5. Из (10.1) имеем

Полученное выражение симметрично по индексам так что в этом случае порядок операторов ковариантного дифференцирования не имеет значения.

Теперь подействуем двумя операторами ковариантного дифференцирования на вектор Из формулы (10.3) с вместо находим

Переставляя индексы и о и вычитая получившееся выражение из предыдущего, получаем

где

Левая часть (11.2) является тензором. Следовательно, и правая часть (11.2) есть тензор. Это справедливо для произвольного вектора поэтому, согласно теореме о частном (см. разд. 4), тензор. Его называют тензором Римана-Кристоффеля, или тензором кривизны.

Тензор кривизны обладает очевидным свойством:

Из (11.3) непосредственно следует, что

Опустим индекс на место первого нижнего индекса. Это даст

где обозначает предыдущие члены с переставленными местами Тогда из (7.6) получим

С учетом (7.5)

Теперь видны еще некоторые свойства симметрии тензора кривизны, а именно:

и

Результатом всех этих свойств симметрии является то, что компонент независимыми являются лишь 20.

1
Оглавление
email@scask.ru