20. ТЕНЗОРНЫЕ ПЛОТНОСТИ

Элемент четырехмерного объема при преобразованиях координат преобразуется по закону:

где якобиан;

Для краткости запишем (20.1) в виде

Учтем, что

Правую часть этого выражения можно рассматривать как произведение трех матриц; у первой матрицы индекс а обозначает строки, индекс столбцы; у второй матрицы индекс обозначает строки, индекс столбцы; у третьей матрицы индекс обозначает строки, индекс (3 — столбцы. Это произведение равно матрице из левой части. Соответствующее соотношение должно иметь место и для детерминантов, поэтому

Далее, так как является отрицательно определенной величиной, можно образовать где подкоренное выражение выбрано положительно определенным. Таким образом,

Пусть — некоторое скалярное поле. Для него Тогда

при условии, что область интегрирования в координатах соответствует области интегрирования в координатах Следовательно,

Назовем величину интеграл от которой является инвариантом, скалярной плотностью.

Аналогично для любого тензорного поля величину -можно назвать тензорной плотностью. Когда область интегрирования мала, является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как он представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат.

Величина в дальнейшем используется очнь часто. Далее для краткости будем записывать ее в виде Так как

то формула (14.5) дает

и формулу (14.6) можно записать в виде