12. КРИТЕРИИ ПЛОСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Если пространство является плоским, можно выбрать прямолинейную систему координат; тогда будет константой и, следовательно, обратится в нуль.

И, наоборт, если обращается в нуль, можно показать, что пространство является плоским. Вектор расположенный в точке сместим посредством параллельного переноса в точку Затем сместим его посредством параллельного переноса в точку Если обращается в нуль, то при смещении из сначала в точку а затем в точку результат должен быть прежним Таким образом, при смещении вектора из одной точки в другую результат не зависит от траектории перехода. Тогда, перемещая параллельным переносом исходный вектор из.

точки во всевозможные точки, получаем векторное поле, удовлетворяющее условию

Можно ли представить такое векторное поле в виде градиента от скаляра? Положим в Получим

Вследствие симметрии по нижним индексам выражения для совпадают, и уравнение (12.2) является интегрируемым.

Выберем четыре независимых скаляра, удовлетворяющих (12.2), в качестве координат новой координатной системы. Тогда

Согласно трансформационному закону (3.7)

Дифференцируя это соотношение по находим с учетом (7.6)

Следовательно,

Значит, . В новой системе координат метрический тензор является константой. Таким образом, мы имеем дело с плоским пространством в прямолинейной системе координат.