14. ТЕНЗОР РИЧЧИ

Свернем по двум индексам. Если свертка производится по индексам, относительно перестановки которых антисимметричен, то, разумеется, результатом будет нуль. Если же сворачивать по другим парам индексов, то получим результаты, отличающиеся один от другого лишь знаком. Это следует из свойств симметрии (11.4), (11.7) и (11.8). Произведем свертку по первому и последнему индексам. Получим,

Этот тензор называют тензором Риччи. Умножая (11.8) на находим, что

т. е. тензор Риччи симметричен.

Можно свернуть по оставшимся двум индексам и образовать

Величина скаляр и называется скалярной кривизной Она определена таким образом, что является положительной

для сферы в трехмерном пространстве, в чем можно убедиться непосредственным вычислением.

Тождества Бианки (13.4) содержат пять индексов. Свернем их дважды и получим соотношение с одним свободным индексом. Положим в и умножим на

т. е.

Далее,

Вследствие симметрии можно писать индексы один над другим, т. е. Тогда уравнение (14.2) приобретает вид

или

что представляет собой тождества Бианки для тензора Риччи. Подняв индекс о, можем записать

Выражение для тензора Риччи, согласно (11.3), в явном виде выглядит следующим образом:

Первый член здесь, на первый взгляд, не симметричен по тогда как остальные три, очевидно, симметричны. Доказательство симметрии первого члена требует проведения некоторых выкладок.

Чтобы продифференцировать детерминант необходимо продифференцировать в нем каждый элемент и домножить его на алгебраическое дополнение Таким образом,

Следовательно,

Отсюда вытекает, что первый член в (14.4) симметричен по