Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21. ТЕОРЕМЫ ГАУССА И СТОКСАКовариантная дивергенция вектора
Отсюда
Подставив в качестве
Если интеграл берется по ограниченному (четырехмерному) объему, то правую часть можно преобразовать по теореме Гаусса в интеграл по (трехмерной) граничной поверхности этого объема. При
Это приводит к закону сохранения, а именно к закону сохранения жидкости, плотность которой есть
— поверхностный интеграл по границе объема Эти результаты для вектора А нельзя, вообще говоря, распространить на тензор с большим числом индексов. Рассмотрим тензор с двумя индексами В плоском пространстве, используя теорему Гаусса, можно преобразовать В этом случае
отсюда с учетом (20.6)
Тогда
Следовательно, Для симметричного тензора
Подставив
Поскольку
В итоге можно записать
Для ковариантного вектора
Результат (21.5) можно сформулировать так: ковариантный ротор равен обычному ротору. Это утверждение справедливо только для ковариантного вектора. Для контравариантного вектора по соображениям баланса индексов ротор образовать нельзя. Положим
Проинтегрируем это равенство по некоторой области поверхности
где последний интеграл берется по границе области. Таким образом, полученный интеграл по замкнутому контуру равен потоку через поверхность, ограниченную этим контуром. Этот результат должен иметь место не только в системе координат, в которой уравнение рассматриваемой поверхности есть Чтобы получить инвариантный способ записи этого результата, введем общее выражение для элемента двухмерной поверхности. Элемент поверхности, определяемый двумя малыми жонтравариантными векторами и задается антисимметричным тензором второго ранга:
Тогда, если и имеют вид
а остальные компоненты обращаются в нуль. Левая часть (21.6) принимает вид
|
1 |
Оглавление
|