30. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ

Метод, развитый в разд. 29, можно обобщить на случай взаимодействия гравитационного поля с любыми другими полями, взаимодействующими между собой. Вариационный принцип в общем случае можно записать в виде

где гравитационное действие, обсуждавшееся выше, действие для всех остальных полей, состоящее из суммы слагаемых, по одному для каждого поля. Большим преимуществом использования вариационного принципа является возможность легко получать корректные уравнения любых взаимодействующих полей. Необходимо лишь найти действие для каждого из рассматриваемых полей и включить все эти члены в (30.1).

Гравитационное действие где — лагранжева плотность из разд. 26 с множителем Для вариации имеем

Выкладки разд. 26, приводящие к (26.11), показывают, что

Пусть обозначает негравитационные полевые величины. Предполагается, что каждая из является компонентой тензора; конкретные тензорные свойства несущественны. Величина имеет вид интеграла от скалярной плотности: где — функция и их первых (возможно, также и высших) производных.

Вариация действия дает следующий результат:

так как любой член, содержащий (производная от полевой величины), при помощи интегрирования по частям можно преобразовать к выражению, которое включается в (30.3). Таким образом, вариационный принцип (30.1) приводит к полевым уравнениям

Здесь состоит из двух слагаемых: члена (30.2), обусловленного и члена (обозначим его порождаемого Разумеется, Величина X обычно не содержит про изводных от в этом случае

Теперь уравнение (30.4) принимает вид

Это не что иное, как уравнение Эйнштейна (24.6) с

Отсюда видно, какой вклад в правую часть дает каждое из полей в зависимости от того [согласно (30.6)], каким образом входит в действие для этого поля.

Для согласованности уравнений должно удовлетворять соотношению Это свойство можно в самом

общем виде вывести из условия, что инвариантно относительно преобразований координат, оставляющих неизменной граничную поверхность. Рассмотрим преобразование координат, скажем, где Ъмало и является функцией и будем искать вариацию в первом порядке по Трансформационный закон для имеет [согласно (3.7)] вид

где штрихованные индексы стоят при преобразованном тензоре. Пусть обозначает изменение в первом порядке не при фиксированном значении поля, а при фиксированных значениях координат, в которых задано, так что

Имеем далее

Тогда из (30.8) следует, что

Итак,

Определим теперь вариацию при таком изменении остальные поля имеют в точке те же значения, что и до преобразования координат в точке Воспользовавшись (30.6), и на основании теоремы, выражаемой формулой (21.4), справедливой для произвольного симметричного тензора второго ранга, находим

Инвариантность I означает, что величина должна обращаться в нуль при любых значениях Следовательно,

Вследствие этого равенства полевые уравнения (30.4), (30.5) не являются независимыми.