6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Пусть вектор Алокализован в точке Если пространство искривлено, понятие параллельного вектора в другой точке лишено смысла, в чем легко убедиться на примере искривленного двухмерного пространства в трехмерном евклидовом пространстве. Однако в точке близкой к существует вектор, параллельный с точностью до членов второго порядка по расстоянию между точками Тогда можно придать смысл операции переноса вектора точки в точку оставляющей вектор параллельным самому себе и не изменяющей его длины.

При помощи операции параллельного переноса можно непрерывно перемещать вектор вдоль некоторой траектории. Выбрав траекторию от до получим вектор в точке параллельный, в смысле данной траектории, исходному вектору в точке Другая траектория даст иной результат. Понятие вектора в точке параллельного исходному вектору в точке не является абсолютным. Если произвести параллельный перенос вектора из точки вдоль замкнутой траектории, то получим снова вектор в точке который, вообще говоря, отличается от исходного направлением.

Уравнения для параллельного переноса вектора можно получить, предположив, что наше четырехмерное физическое пространство находится в плоском пространстве большего числа, скажем измерений. Введем в этом -мерном пространстве прямолинейные координаты Эти координаты могут быть неортогональными. Для двух близлежащих точек существует инвариантное расстояние:

где суммирование по ведется от 1 до . В отличие от величины являются константами. С их помощью можно опускать индексы в -мерном пространстве:

Физическое пространство образует четырехмерную «поверхность» в плоском -мерном пространстве. Каждая точка этой поверхности определяет некоторую точку в -мер-ном пространстве. Каждая координата является функцией

четырех Уравнения поверхности задаются путем исключения из функций Таких уравнений

Дифференцируя по параметрам получаем

Для двух близких точек поверхности, различающихся на имеем

Согласно (6.1), квадрат инвариантного расстояния между этими точками имеет вид

Поскольку константы, то можно записать в виде

Кроме того,

Отсюда получаем, что

Рассмотрим в физическом пространстве контравариантный вектор локализованный в точке Компоненты преоб разуются так же, как из (6.2), и из них, следовательно, можно образовать соответствующий контравариантный вектор в -мерном пространстве, преобразующийся так же, как из (6.2). Тогда

Вектор разумеется, принадлежит поверхности.

Сместим теперь в соседнюю точку поверхности оставляя его параллельным самому себе (это означает, что компоненты остаются неизменными). Вследствие кривизны пространства вектор в точке уже не принадлежит поверхности. Однако его проекция на поверхность задает определенный вектор, принадлежащий поверхности.

Для нахождения проекции на поверхность нужно разложить вектор на тангенциальную и нормальную составляющие, и затем нормальную составляющую отбросить:

Если обозначить компоненты в координатной системе принадлежащей поверхности, то в соответствии с (6.4) можно записать:

где коэффициенты взяты в новой точке

Составляющая Лпог по самому определению ортогональна любому тангенциальному вектору в точке следовательно, любому вектору типа правой части (6.6) независимо от вида Тогда

Если теперь умножить (6.5) на то член с исчезает, и с учетом (6.3) получим

Таким образом, с точностью до величин первого порядка по находим:

Так как есть результат параллельного переноса в точку можно положить

так что обозначает изменение при параллельном переносе. Тогда имеем