16. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ

Рассмотрим статическое гравитационное поле в статической системе координат. Тогда постоянно во времени, т. е. Далее, для должно выполняться условие:

Следовательно,

является обратной матрицей по отношению к Латинские индексы всегда пробегают значения 1, 2, 3. Отсюда находим, что а тогда и

Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью малой по сравнению со скоростью света. Тогда есть малая первого порядка. В пренебрежении величинами второго порядка малости получим, что

Частица движется по геодезической. Уравнение геодезической (8.3) с точностью до членов первого порядка дает

Но с точностью до членов первого порядка

Тогда с учетом (16.1) запишем

Поскольку не зависит от можно опустить индекс что даст соотношение

Видно, что частица движется так, будто она находится под воздействием потенциала При получении этого результата никак не использовалось уравнение Эйнштейна. Теперь для сравнения эйнштейновской теории с ньютоновской учтем закон Эйнштейна, приводящий к определенным уравнениям для потенциала.

Предположим, что гравитационное поле является слабым, так что кривизна пространства — времени мала. Тогда можно выбрать систему координат, для которой кривизна координатных осей (для каждой из осей три координаты фиксированы) мала. В этом случае в первом приближении есть константа, и все символы Кристоффеля малы. Уравнение

Эйнштейна с точностью до членов первого порядка приобретает вид [см. (14.4)]

Сворачивая (11.6) по двум индексам с перестановкой и пренебрегая членами второго порядка малости, можно преобразовать это соотношение к следующему более удобному виду:

Положим теперь и используем условие независимости от Получим

Уравнение Даламбера (10.9) в приближении слабого поля принимает вид

В статическом случае это выражение сводится к уравнению Лапласа:

Уравнение (16.5) как раз и означает, что удовлетворяет уравнению Лапласа.

Можно выбрать единицу измерения времени так, чтобы мало отличалось от единицы. Тогда положим:

где -мало. В этом случае становится потенциалом. Поскольку V удовлетворяет уравнению Лапласа, его можно отождествить с ньютоновским потенциалом, равным где масса источника. Теперь видно, что (16.2) приводит к соотношению:

так как диагональные элементы Значит, знак при V был выбран правильно.

Таким образом, закон Эйнштейна переходит в закон Ньютона, когда поле является слабым и статическим. Следовательно, результаты ньютоновской теории по объяснению движения лланет остаются в силе. Приближение статичности оправдывается малостью скоростей планет по сравнению со скоростью света. Приближение слабого поля является хорошим, так как пространство очень незначительно отклоняется от плоского. Рассмотрим порядки некоторых величин.

Значение потенциала V на поверхности Земли оказывается порядка Таким образом, из формулы (16.6) очень к единице. Но даже такое малое отличие от единицы

приводит к значительным гравитационным эффектам, наблюдаемым на Земле. Взяв радиус Земли порядка 109 см, найдем, что значение порядка Следовательно, отклонение пространства от плоского крайне мало. Однако, чтобы получить ускорение в гравитационном поле на поверхности Земли, нужно умножить это отклонение на квадрат скорости света, т. е. на Поэтому ускорение вполне ощутимо, хотя само отклонение пространства от плоского бесконечно мало, для того чтобы его можно было наблюдать непосредственно.