3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Теперь перейдем к системам криволинейных координат. Рассмотрим величины, локализованные в точке пространства — времени. Это могут быть многокомпонентные величины с компонентами, отнесенными к координатным осям в данной точке. Если подобная величина существует во всех точках пространства, ее называют полевой величиной.

Полевую величину (или одну из ее компонент, если их несколько) можно продифференцировать по любой из четырех координат. Запишем результат:

Нижний индекс через запятую всегда будет обозначать такую производную. Индекс помещен внизу, так как верхний индекс в левой части находится в знаменателе. Изменение при переходе от точки к близлежащей точке имеет вид

Видно, что условие баланса индексов выполнено.

Нам понадобятся локализованные в точке векторы и тензоры с компонентами, отнесенными к координатным осям в этой точке. При преобразованиях координат компоненты таких величин преобразуются по тому же закону, что и в предыдущем разделе, но зависящему от преобразования координат в рассматриваемой точке. Получим, как и прежде, величины с нижними и верхними индексами. Однако они больше не константы, а меняются от точки к точке, т. е. являются полевыми величинами.

Рассмотрим результат специального преобразования координат. Пусть каждая из новых криволинейных координат есть функция четырех Удобнее писать хгде штрих стоит при индексе, а не при основном символе.

Варьируя получаем четыре величины образующие контравариантный вектор. Компоненты этого вектора в новых координатах, согласно (3.1), имеют вид

Отсюда получаем закон преобразования любого контравариантного вектора

Переставив новую и исходную системы координат и изменив индексы, получим

Из свойств дифференцирования в частных производных известно, что [в обозначениях (2.5)]

Таким образом,

Это позволяет увидеть согласованность (3.2) и (3.3), так как подстановка (3.2) в правую часть (3.3) дает

Чтобы выяснить, как преобразуется ковариантный вектор используем условие инвариантности величины . С учетом (3.3) запишем:

Этот результат должен оставаться справедливым для всех значений четырех величин поэтому, приравняв коэффициенты при А, можно получить

Формулы (3.2) и (3.5) позволяют теперь преобразовывать произвольный тензор с любым числом верхних и нижних индексов. Коэффициенты типа как раз и должны быть использованы для каждого верхнего и нижнего индекса соответственно с соблюдением баланса индексов, например:

Любая величина, преобразующаяся по такому закону, есть тензор. Соотношение (3.6) можно считать определением тензора.

Заметим, что для тензора существенна симметрия или антисимметрия по индексам типа так как это свойство сохраняется при преобразовании координат. Формулу (3.4) можно переписать в виде

откуда следует, что есть тензор. Для произвольных векторов имеем

Так как это справедливо для всех значений заключаем, что

Отсюда следует, что является тензором. Аналогично можно показать, что тензор. Эти величины называют фундаментальными тензорами.

Произвольную скалярную полевую величину можно считать как функцией четырех так и функцией четырех -Согласно свойствам операции дифференцирования в частных производных

Следовательно, преобразуется, как из уравнения (3.5), и, таким образом, производная от скалярного поля является ковариантным векторным полем.